定積分(0から∞)

\begin{alignat}{2}
&(1) \displaystyle\int_0^{\infty} \frac{x^p}{(1+x)^2}dx=\frac{pπ}{\sin pπ}\\
&(2) \displaystyle\int_0^{\infty} \frac{x^p}{(1+x)^3}dx=\frac{p(1-p)π}{2 \sin pπ}\\
&(3)  \displaystyle\int_0^{\infty} \frac{1}{x^p(1+x)}dx=\frac{π}{ \sin pπ} \\
&(4) \displaystyle\int_0^{\infty} \frac{x^{n-1}}{(a+bx)^{n+1}}dx=\frac{1}{nab^n}
\end{alignat}







<証明>

\((1)\)  ベータ関数の公式を用いて、相反公式に帰着させます。
\begin{alignat}{2}
&\displaystyle\int_0^{\infty} \frac{x^p}{(1+x)^2}dx=B(p+1,1-p)\\
&=\frac{Γ(p+1)Γ(1-p)}{Γ(2)}=pΓ(p)Γ(1-p)=\frac{pπ}{ \sin pπ}
\end{alignat}





\((2)\)  \((1)\) と同様にベータ関数の公式を用いて、相反公式に帰着させます。
\begin{alignat}{2}
&\displaystyle\int_0^{\infty} \frac{x^p}{(1+x)^3}dx=B(p+1,2-p)\\
&=\frac{Γ(p+1)Γ(2-p)}{Γ(3)}=\frac{pΓ(p)(1-p)Γ(1-p)}{2}\\
&=\frac{p(1-p)}{2}Γ(p)Γ(1-p)=\frac{p(1-p)π}{2 \sin pπ}
\end{alignat}




\((3)\)  \((1)\) と同様にベータ関数の公式を用いて、相反公式に帰着させます。
\begin{alignat}{2}
&\displaystyle\int_0^{\infty} \frac{x^{-p}}{1+x}dx=B(1-p,p)=\frac{π}{\sin pπ}
\end{alignat}




\((4)\)  \(x\) の次数が \(0\) になるまで部分積分を行います。
\begin{alignat}{2}
&\displaystyle\int_0^{\infty} \frac{x^{n-1}}{(a+bx)^{n+1}}dx=\displaystyle\int_0^{\infty} x^{n-1}(a+bx)^{-n-1}dx\\
&=\left[-\frac{1}{nb}(a+bx)^{-n}x^{n-1}\right]+ \displaystyle\int_0^{\infty} (n-1)x^{n-2}\cdot \frac{1}{nb}(a+bx)^{-n}dx\\
&=\frac{n-1}{nb}\displaystyle\int_0^{\infty} x^{n-2}(a+bx)^{-n}dx\\
&=\frac{n-1}{nb}\left\{\left[-\frac{1}{(n-1)b}(a+bx)^{-n+1}x^{n-2}\right]+ \displaystyle\int_0^{\infty} (n-2)x^{n-3}\cdot \frac{1}{(n-1)b}(a+bx)^{-n+1}dx\right\}\\
&=\frac{n-1}{nb} \cdot \frac{n-2}{(n-1)b} \displaystyle\int_0^{\infty} x^{n-3}(a+bx)^{-n+1}dx\\
&=\frac{n-1}{nb} \cdot \frac{n-2}{(n-1)b} \cdot \frac{n-3}{(n-2)b} \displaystyle\int_0^{\infty} x^{n-4}(a+bx)^{-n+2}dx\\
&\\
&            \cdots\\
&\\
&=\frac{n-1}{nb} \cdot \frac{n-2}{(n-1)b} \cdot \frac{n-3}{(n-2)b} \cdots \frac{3}{4b}\cdot \frac{2}{3b} \cdot \frac{1}{2b} \displaystyle\int_0^{\infty} (a+bx)^{-2}dx\\
&=\frac{(n-1)!}{n!b^{n-1}}\left[-\frac{1}{a+bx}\cdot \frac{1}{b}\right]_0^{\infty}\\
&=\frac{1}{nb^{n-1}}\cdot \frac{1}{ab}=\frac{1}{nab^n}
\end{alignat}

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