点と直線・点と平面の距離の公式

\((1)\) 直線 \(l:ax+by+c=0\) と点 \(A(x_1,y_1)\) との距離 \(h\) は$$h=\frac{|ax_1+by_1+c|}{\sqrt{a^2+b^2}}$$
\((2)\) 平面 \(α:ax+by+cz+d=0\) と点 \(A(x_1,y_1,z_1)\) との距離 \(h\) は$$h=\frac{|ax_1+by_1+cz_1+d|}{\sqrt{a^2+b^2+c^2}}$$







<証明>

\((1)\)

上の図のように直線 \(l\) と直線 \(m\) を垂直に交わらせます。

直線 \(l\) と直線 \(m\) との交点を \(H(x_2,y_2)\), 直線 \(m\) 上の点を \(A(x_1,y_1)\), 直線 \(m\) の方向ベクトルを \(\vec{n}=(a,b)\) とします。

このとき、直線 \(l\) と点 \(A(x_1,y_1)\) との距離を \(h\) を求めます。

直線 \(m\) は方向ベクトル \(\vec{n}\) と直線上の点 \(A\) を用いて
\begin{alignat}{2}
m:\left(
\begin{array}{c}
x\\
y\\
\end{array}
\right)=\left(
\begin{array}{c}
x_1\\
y_1\\
\end{array}\right)+t\left(
\begin{array}{c}
a\\
b\\
\end{array}\right)
\end{alignat}となるので$$x=x_1+at,  y=y_1+bt$$
点 \(H\) は直線 \(m\) 上にあるので$$x_2-x_1=at,  y_2-y_1=bt \cdots(A)$$
一方、直線 \(l\) と直線 \(m\) を連立させると
\begin{alignat}{2}
&a(x_1+at)+b(y_1+bt)+c=0\\
&ax_1+by_1+c+(a^2+b^2)t=0\\
&(a^2+b^2)t=-(ax_1+by_1+c)\\
&t=-\frac{ax_1+by_1+c}{a^2+b^2} \cdots(B)
\end{alignat}
ところで \(h^2\) は \((A)\) を代入することで
\begin{alignat}{2}
&h^2=|\overrightarrow{AH}|^2=(x_2-x_1)^2+(y_2-y_1)^2\\
&  =(a^2+b^2)t^2
\end{alignat}となるので、さらに \((B)\) を代入すると$$h^2=(a^2+b^2) \cdot \frac{(ax_1+by_1+c)^2}{(a^2+b^2)^2}=\frac{(ax_1+by_1+c)^2}{a^2+b^2}$$\(h \geq 0\) であるから、以上より$$h=\frac{|ax_1+by_1+c|}{\sqrt{a^2+b^2}}$$






\((2)\)

上の図のように平面 \(α\) と直線 \(l\) を垂直に交わらせます。

平面 \(α\) と直線 \(l\) との交点を \(H(x_2,y_2,z_2)\), 直線 \(l\) 上の点を \(A(x_1,y_1,z_1)\), 直線 \(l\) の方向ベクトルを \(\vec{n}=(a,b,c)\) とします。

このとき、平面 \(α\) と点 \(A(x_1,y_1,z_1)\) との距離を \(h\) を求めます。


直線 \(l\) は方向ベクトル \(\vec{n}\) と直線上の点 \(A\) を用いて$$l:\frac{x-x_1}{a}=\frac{y-y_1}{b}=\frac{z-z_1}{c}(=t)$$となるので$$x=at+x_1,  y=bt+y_1,  z=ct+z_1$$ 点 \(H\) は直線 \(l\) 上にあるので$$x_2-x_1=at,  y_2-y_1=bt,  z_2-z_1=ct \cdots(A)$$
一方、平面 \(α\) と直線 \(l\) を連立させると
\begin{alignat}{2}
&a(at+x_1)+b(bt+y_1)+c(ct+z_1)+d=0\\
&(a^2+b^2+c^2)t=-(ax_1+by_1+cz_1+d)\\
&t=-\frac{ax_1+by_1+cz_1+d}{a^2+b^2+c^2} \cdots(B)
\end{alignat}
ところで \(h^2\) は \((A)\) を代入することで
\begin{alignat}{2}
&h^2=|\overrightarrow{AH}|^2=(x_2-x_1)^2+(y_2-y_1)^2+(z_2-z_1)^2\\
&  =(a^2+b^2+c^2)t^2
\end{alignat}となるので、さらに \((B)\) を代入すると$$h^2=(a^2+b^2+c^2) \cdot \frac{(ax_1+by_1+cz_1+d)^2}{(a^2+b^2+c^2)^2}=\frac{(ax_1+by_1+cz_1+d)^2}{a^2+b^2+c^2}$$\(h \geq 0\) であるから、以上より$$h=\frac{|ax_1+by_1+cz_1+d|}{\sqrt{a^2+b^2+c^2}}$$

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