The function β(x)[1]

次の関数(級数)を \(β(x)\) で表します。(ただし、ディリクレベータ関数とは異なります。)$$β(x)=\displaystyle\sum_{k=0}^{\infty} \frac{(-1)^k}{x+k}  (-x \notin \mathrm{N})$$
この関数について、以下の式が成り立ちます。
\begin{alignat}{2}
&(1)  β(x)=\displaystyle\sum_{k=0}^{\infty} \frac{1}{(x+2k)(x+2k+1)}\\
&(2)  β(x)=\frac{1}{2}\left\{ψ\left(\frac{x+1}{2}\right) -ψ\left(\frac{x}{2}\right)\right\}\\
&(3)  β^{(n)}(x)=(-1)^nn! \displaystyle\sum_{k=0}^{\infty} \frac{(-1)^k}{(x+k)^{n+1}}\\
&(4)  β(x)+β(x+1)=\frac{1}{x}\\
&(5)  β(x)-β(x+2)=\frac{1}{x(x+1)}\\
&(6)  β(x)+β(1-x)=\frac{π}{\sin πx}\\
\end{alignat}










<証明>

\((1)\) \(1,2\) 番目、\(3,4\) 番目、\(5,6\) 番目…の項を足し合わせます。
\begin{alignat}{2}
β(x)&=\displaystyle\sum_{k=0}^{\infty} \frac{(-1)^k}{x+k}=\frac{1}{x}-\frac{1}{x+1}+\frac{1}{x+2}-\frac{1}{x+3}+\frac{1}{x+4}-\frac{1}{x+5}+ \cdots\\
&=\left(\frac{1}{x}-\frac{1}{x+1}\right)+\left(\frac{1}{x+2}-\frac{1}{x+3}\right)+\left(\frac{1}{x+4}-\frac{1}{x+5}\right)+ \cdots\\
&=\frac{1}{x(x+1)}+\frac{1}{(x+2)(x+3)}+\frac{1}{(x+4)(x+5)}+ \cdots +\frac{1}{(x+2k)(x+2k+1)}+ \cdots \\
&=\displaystyle\sum_{k=0}^{\infty} \frac{1}{(x+2k)(x+2k+1)}\\
\end{alignat}以上より$$β(x)=\displaystyle\sum_{k=0}^{\infty} \frac{1}{(x+2k)(x+2k+1)}$$







\((2)\) 奇数番目と偶数番目の項をシグマでまとめます。
\begin{alignat}{2}
β(x)&=\displaystyle\sum_{k=0}^{\infty} \frac{(-1)^k}{x+k}=\frac{1}{x}-\frac{1}{x+1}+\frac{1}{x+2}-\frac{1}{x+3}+\frac{1}{x+4}-\frac{1}{x+5}+ \cdots\\
&=\left(\frac{1}{x}+\frac{1}{x+2}+\frac{1}{x+4}+\frac{1}{x+6}+\cdots \right)-\left(\frac{1}{x+1}+\frac{1}{x+3}+\frac{1}{x+5}+\frac{1}{x+7}+ \cdots \right)\\
&=\displaystyle\sum_{k=0}^{\infty} \frac{1}{x+2k}-\displaystyle\sum_{k=0}^{\infty} \frac{1}{x+2k+1}\\
&=\frac{1}{2}\left\{\displaystyle\sum_{k=0}^{\infty} \frac{1}{\frac{x}{2}+k}-\displaystyle\sum_{k=0}^{\infty} \frac{1}{\frac{x+1}{2}+k}\right\}\\
&=\frac{1}{2}\left\{ψ\left(\frac{x+1}{2}\right) -ψ\left(\frac{x}{2}\right)\right\}
\end{alignat}以上より$$β(x)=\frac{1}{2}\left\{ψ\left(\frac{x+1}{2}\right) -ψ\left(\frac{x}{2}\right)\right\}$$







\((3)\) 両辺を \(n\) 回微分します。
\begin{alignat}{2}
β’(x)&=(-1)\displaystyle\sum_{k=0}^{\infty} \frac{(-1)^k}{(x+k)^2}\\
β’’(x)&=(-1)(-2)\displaystyle\sum_{k=0}^{\infty} \frac{(-1)^k}{(x+k)^3}\\
β’’’(x)&=(-1)(-2)(-3)\displaystyle\sum_{k=0}^{\infty} \frac{(-1)^k}{(x+k)^4}\\
&\\
&               \cdots\\
&\\
β^{(n)}(x)&=(-1)(-2)(-3) \cdots (-n) \displaystyle\sum_{k=0}^{\infty} \frac{(-1)^k}{(x+k)^{n+1}}\\
\end{alignat}以上より$$β^{(n)}(x)=(-1)^nn! \displaystyle\sum_{k=0}^{\infty} \frac{(-1)^k}{(x+k)^{n+1}}$$ 







\begin{alignat}{2}
(4)  β(x)+β(x+1)&=\displaystyle\sum_{k=0}^{\infty} \frac{(-1)^k}{x+k}+\displaystyle\sum_{k=0}^{\infty} \frac{(-1)^k}{x+1+k}\\
&=\displaystyle\sum_{k=0}^{\infty} \frac{(-1)^k}{x+k}+\displaystyle\sum_{k=1}^{\infty} \frac{(-1)^{k-1}}{x+k}\\
&=\displaystyle\sum_{k=0}^{\infty} \frac{(-1)^k}{x+k}-\displaystyle\sum_{k=1}^{\infty} \frac{(-1)^{k}}{x+k}\\
&=\displaystyle\sum_{k=0}^{\infty} \frac{(-1)^k}{x+k}-\left\{-\frac{1}{x}+\displaystyle\sum_{k=0}^{\infty} \frac{(-1)^{k}}{x+k}\right\}=\frac{1}{x}\\
\end{alignat}以上より$$β(x)+β(x+1)=\frac{1}{x}$$ 








\((5)\) \((4)\) の式で \(x\) を \(x+1\) とします。$$β(x+1)+β(x+2)=\frac{1}{x+1}$$\((4)\) の式から、この式を引きます。$$β(x)+β(x+1)-\{β(x+1)+β(x+2)\}=\frac{1}{x}-\frac{1}{x+1}$$以上より$$β(x)-β(x+2)=\frac{1}{x(x+1)}$$







\begin{alignat}{2}
β(x)+β(1-x)&=\displaystyle\sum_{k=0}^{\infty} \frac{(-1)^k}{x+k}+\displaystyle\sum_{k=0}^{\infty} \frac{(-1)^k}{(1-x)+k}\\
&=\displaystyle\sum_{k=0}^{\infty} \frac{(-1)^k}{x+k}-\displaystyle\sum_{k=0}^{\infty} \frac{(-1)^k}{x-k-1}\\
&=\left(\frac{1}{x}-\frac{1}{x+1}+\frac{1}{x+2}-\frac{1}{x+3}+ \cdots \right)-\left(\frac{1}{x-1}-\frac{1}{x-2}+\frac{1}{x-3}-\frac{1}{x-4}+ \cdots \right)\\
&= \cdots -\frac{1}{x-3}+\frac{1}{x-2}-\frac{1}{x-1}+\frac{1}{x}-\frac{1}{x+1}+\frac{1}{x+2}-\frac{1}{x+3}+ \cdots \\
&=\displaystyle\sum_{k=-\infty}^{\infty} \frac{(-1)^k}{x+k}=\frac{π}{\sin πx}\\
\end{alignat}以上より$$β(x)+β(1-x)=\frac{π}{\sin πx}$$

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