The function β(x)[3]

次の関数(級数)を \(β(x)\) で表します。(ただし、ディリクレベータ関数とは異なります。)$$β(x)=\displaystyle\sum_{k=0}^{\infty} \frac{(-1)^k}{x+k}  (-x \notin \mathrm{N})$$
この関数について、以下の式が成り立ちます。
\begin{alignat}{2}
&(1)  β’(1)=-\frac{π^2}{12}\\
&(2)  β’\left(\frac{1}{2}\right)=-4G\\
&(3)  β’’\left(\frac{1}{2}\right)=\frac{π^3}{2}\\
&(4)  β^{(4)}\left(\frac{1}{2}\right)=\frac{5}{2}π^5\\
&(5)  β^{(6)}\left(\frac{1}{2}\right)=\frac{61}{2}π^7\\
&(6)  β^{(n)}(1)=(-1)^nn!\left(1-\frac{1}{2^n}\right)ζ(n+1)\\
&(7)  β^{(2n)}\left(\frac{1}{2}\right)=\frac{π^{2n+1}}{2}|E_{2n}|\\
\end{alignat}












<証明>

次の等式を用います。[詳細はこちらです。(A)(B)(C)(D)]
\begin{alignat}{2}
&(A)  \displaystyle\sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^n}{(2n+1)^3}=\frac{π^3}{32}\\
&(B)  \displaystyle\sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^n}{(2n+1)^5}=\frac{5π^5}{1536}\\
&(C)  \displaystyle\sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^n}{(2n+1)^7}=\frac{61π^7}{184320}\\
&(D)  \displaystyle\sum_{k=0}^{\infty} \frac{(-1)^k}{(2k+1)^{2n+1}}=\frac{π^{2n+1}}{2^{2n+2}(2n)!}|E_{2n}|\\
\end{alignat}


\((1)(2)\) \(β(x)\) を \(x\) で微分します。$$β’(x)=-\displaystyle\sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^n}{(x+n)^2}$$\(\displaystyle x=1,\frac{1}{2}\) とします。
\begin{alignat}{2}
&β’(1)=-\displaystyle\sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^n}{(n+1)^2}=-η(2)=-\frac{π^2}{12}\\
&β’\left(\frac{1}{2}\right)=-\displaystyle\sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^n}{\left(\frac{1}{2}+n\right)^2}=-4\displaystyle\sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^n}{(2n+1)^2}=-4G\\
\end{alignat}







\((3)\) \(β(x)\) を \(x\) で \(2\) 回微分します。$$β’’(x)=2!\displaystyle\sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^n}{(x+n)^3}$$\(x=\displaystyle \frac{1}{2}\) とします。$$β’’\left(\frac{1}{2}\right)=2!\displaystyle\sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^n}{\left(\frac{1}{2}+n\right)^3}=16 \displaystyle\sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^n}{(2n+1)^3}=16 \cdot \frac{π^3}{32}=\frac{π^3}{2}$$







\((4)\) \(β(x)\) を \(x\) で \(4\) 回微分します。$$β^{(4)}(x)=4!\displaystyle\sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^n}{(x+n)^5}$$\(x=\displaystyle \frac{1}{2}\) とします。$$β^{(4)}\left(\frac{1}{2}\right)=4!\displaystyle\sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^n}{\left(\frac{1}{2}+n\right)^5}=24 \cdot 2^5 \displaystyle\sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^n}{(2n+1)^5}=24 \cdot 2^5 \cdot \frac{5π^5}{1536}=\frac{5}{2}π^5$$









\((5)\) \(β(x)\) を \(x\) で \(6\) 回微分します。$$β^{(6)}(x)=6!\displaystyle\sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^n}{(x+n)^7}$$\(x=\displaystyle \frac{1}{2}\) とします。$$β^{(6)}\left(\frac{1}{2}\right)=6!\displaystyle\sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^n}{\left(\frac{1}{2}+n\right)^7}=720 \cdot 2^7 \displaystyle\sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^n}{(2n+1)^7}=720 \cdot 2^7 \cdot \frac{61π^7}{184320}=\frac{61}{2}π^7$$








\((6)\) \(β(x)\) を \(x\) で \(n\) 回微分します。$$β^{(n)}(x)=(-1)^nn!\displaystyle\sum_{k=0}^{\infty} \frac{(-1)^k}{(x+k)^{n+1}}$$\(x=\displaystyle 1\) とします。$$β^{(n)}\left(1\right)=(-1)^nn!\displaystyle\sum_{k=0}^{\infty} \frac{(-1)^k}{\left(k+1\right)^{n+1}}=(-1)^nn!η(n+1)=(-1)^nn!\left(1-\frac{1}{2^n}\right)ζ(n+1)$$









\((7)\) \(β(x)\) を \(x\) で \(2n\) 回微分します。$$β^{(2n)}(x)=(2n)!\displaystyle\sum_{k=0}^{\infty} \frac{(-1)^k}{(x+k)^{2n+1}}$$\(x=\displaystyle \frac{1}{2}\) とします。
\begin{alignat}{2}
β^{(2n)}\left(\frac{1}{2}\right)&=(2n)!\displaystyle\sum_{k=0}^{\infty} \frac{(-1)^k}{\left(\frac{1}{2}+k\right)^{2n+1}}=(2n)!2^{2n+1} \displaystyle\sum_{k=0}^{\infty} \frac{(-1)^k}{(2k+1)^{2n+1}}\\
&=(2n)!2^{2n+1} \cdot \frac{π^{2n+1}}{2^{2n+2}(2n)!}|E_{2n}|=\frac{π^{2n+1}}{2}|E_{2n}|\\
\end{alignat}

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