チェビシェフ多項式[2]

チェビシェフ多項式は次式で表されます。

\((a)\) 第 \(1\) 種チェビシェフ多項式$$T_n(x)=\cos nθ    (x=\cos θ)$$
\((b)\) 第 \(2\) 種チェビシェフ多項式$$U_n(x)=\frac{\sin (n+1)θ}{\sin θ}   (x=\cos θ)$$

第 \(1\) 種チェビシェフ多項式について、以下の式が成り立ちます。
\begin{alignat}{2}
&(1)  T_0(x)=1\\
&(2)  T_1(x)=x\\
&(3)  T_2(x)=2x^2-1\\
&(4)  T_3(x)=4x^3-3x\\
&(5)  T_4(x)=8x^4-8x^2+1\\
&(6)  T_5(x)=16x^5-20x^3+5x\\
&(7)  T_6(x)=32x^6-48x^4+18x^2-1\\
&(8)  T_7(x)=64x^7-112x^5+56x^3-7x\\
&(9)  T_8(x)=128x^8-256x^6+160x^4-32x^2+1\\
\end{alignat}

第 \(2\) 種チェビシェフ多項式について、以下の式が成り立ちます。
\begin{alignat}{2}
&(1)  U_0(x)=1\\
&(2)  U_1(x)=2x\\
&(3)  U_2(x)=4x^2-1\\
&(4)  U_3(x)=8x^3-4x\\
&(5)  U_4(x)=16x^4-12x^2+1\\
&(6)  U_5(x)=32x^5-32x^3+6x\\
&(7)  U_6(x)=64x^6-80x^4+24x^2-1\\
&(8)  U_7(x)=128x^7-192x^5+80x^3-8x\\
&(9)  U_8(x)=256x^8-448x^6+240x^4-40x^2+1\\
\end{alignat}








<証明>

次のチェビシェフ多項式の等式を用います。(詳細はこちらです)
\begin{alignat}{2}
&(A)  T_{n+1}(x)-2xT_n(x)-T_{n-1}(x)=0\\
&(B)  U_{n+1}(x)-2xU_n(x)-U_{n-1}(x)=0\\
\end{alignat}



第 \(1\) 種チェビシェフ多項式について

\begin{alignat}{2}
(1)  T_0(x)&=\cos 0=1\\
&\\
&\\
(2)  T_1(x)&=\cos θ=x\\
&\\
&\\
(3)  T_2(x)&=\cos 2θ=2 \cos^2 θ-1=2x^2-1\\
&\\
&\\
(4)  T_3(x)&=\cos 3θ=4 \cos^3 θ-3 \cos θ=4x^3-3x\\
&\\
&\\
(5)  T_4(x)&=2xT_3(x)-T_2(x)\\
&=2x(4x^3-3x)-3x-(2x^2-1)\\
&=8x^4-6x^2-2x^2+1\\
&=8x^4-8x^2+1\\
&\\
&\\
(6)  T_5(x)&=2xT_4(x)-T_3(x)\\
&=2x(8x^4-8x^2+1)-(4x^3-3x)\\
&=16x^5-16x^3+2x-4x^3+3x\\
&=16x^5-20x^3+5x\\
&\\
&\\
(7)  T_6(x)&=2xT_5(x)-T_4(x)\\
&=2x(16x^5-20x^3+5x)-(8x^4-8x^2+1)\\
&=32x^6-40x^4+10x^2-8x^4+8x^2-1\\
&=32x^6-48x^4+18x^2-1\\
&\\
&\\
(8)  T_7(x)&=2xT_6(x)-T_5(x)\\
&=2x(32x^6-48x^4+18x^2-1)-(16x^5-20x^3+5x)\\
&=64x^7-96x^5+36x^3-2x-16x^5+20x^3-5x\\
&=64x^7-112x^5+56x^3-7x\\
&\\
&\\
(9)  T_8(x)&=2xT_7(x)-T_6(x)\\
&=2x(64x^7-112x^5+56x^3-7x)-(32x^6-48x^4+18x^2-1)\\
&=128x^8-224x^6+112x^4-14x^2-32x^6+48x^4-18x^2+1\\
&=128x^8-256x^6+160x^4-32x^2+1
\end{alignat}






第 \(2\) 種チェビシェフ多項式について

\begin{alignat}{2}
(1)  U_0(x)&=\frac{\sin θ}{\sin θ}=1\\
&\\
&\\
(2)  U_1(x)&=\frac{\sin 2θ}{\sin θ}=\frac{2\sin θ \cos θ}{\sin θ}\\
&=2 \cos θ=2x\\
&\\
&\\
(3)  U_2(x)&=\frac{\sin 3θ}{\sin θ}=\frac{3\sin θ-4 \sin^3 θ}{\sin θ}\\
&=3-4 \sin^2 θ=3-4(1-\cos^2 θ)\\
&=4 \cos^2 θ-1=4x^2-1\\
&\\
&\\
(4)  U_3(x)&=2xU_2(x)-U_1(x)\\
&=2x(4x^2-1)-2x\\
&=8x^3-2x-2x=8x^3-4x\\
&\\
&\\
(6)  U_4(x)&=2xU_3(x)-U_2(x)\\
&=2x(8x^3-4x)-3x-(4x^2-1)\\
&=16x^4-8x^2-4x^2+1\\
&=16x^4-12x^2+1\\
&\\
&\\
(6)  U_5(x)&=2xU_4(x)-U_3(x)\\
&=2x(16x^4-12x^2+1)-(8x^3-4x)\\
&=32x^5-24x^3+2x-8x^3+4x\\
&=32x^5-32x^3+6x\\
&\\
&\\
(7)  U_6(x)&=2xU_5(x)-U_4(x)\\
&=2x(32x^5-32x^3+6x)-(16x^4-12x^2+1)\\
&=64x^6-64x^4+12x^2-16x^4+12x^2-1\\
&=64x^6-80x^4+24x^2-1\\
&\\
&\\
(8)  U_7(x)&=2xU_6(x)-U_5(x)\\
&=2x(64x^6-80x^4+24x^2-1)-(32x^5-32x^3+6x)\\
&=128x^7-160x^5+48x^3-2x-32x^5+32x^3-6x\\
&=128x^7-192x^5+80x^3-8x\\
&\\
&\\
(9)  U_8(x)&=2xU_7(x)-U_6(x)\\
&=2x(128x^7-192x^5+80x^3-8x)-(64x^6-80x^4+24x^2-1)\\
&=256x^8-384x^6+160x^4-16x^2-64x^6+80x^4-24x^2+1\\
&=256x^8-448x^6+240x^4-40x^2+1
\end{alignat}
 

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