チェビシェフ多項式[6]

次の微分方程式について$$(1)  (1-x^2)y’’-xy’+n^2y=0$$の解は第 \(1\) 種チェビシェフ多項式 \(T_n(x)\) である。

$$(2)  (1-x^2)y’’-3xy’+n(n+2)y=0$$の解は第 \(2\) 種チェビシェフ多項式 \(U_n(x)\) である。













<証明>

\((1)\) \(y=T_n(x)=\cos nθ (x=\cos θ)\) であるので \(\displaystyle \left(\frac{dx}{dθ}=-\sin θ\right)\)
\begin{alignat}{2}
y’&=\frac{dy}{dx}=\frac{dθ}{dx} \cdot \frac{d}{dθ} \cos nθ\\
&=\left(-\frac{1}{\sin θ}\right)(- n \sin nθ)=n \cdot \frac{\sin nθ}{\sin θ}\\
&\\
y’’&=\frac{d^2y}{dx^2}=\frac{d}{dx} \cdot \frac{dy}{dx}=\frac{d}{dx}\left(n \cdot \frac{\sin nθ}{\sin θ}\right)\\
&=n \cdot \frac{dθ}{dx} \cdot \frac{d}{dθ}\left(\frac{\sin nθ}{\sin θ}\right)\\
&=n \left(-\frac{1}{\sin θ}\right) \cdot \frac{n \cos nθ \sin θ-\sin nθ \cos θ}{\sin^2 θ}\\
&=\frac{-n^2 \cos nθ \sin θ+n\sin nθ \cos θ}{\sin^3 θ}
\end{alignat}よって
\begin{alignat}{2}
(1-x^2)y’’&=(1-\cos^2 θ) \cdot \frac{-n^2 \cos nθ \sin θ+n\sin nθ \cos θ}{\sin^3 θ}\\
&=\frac{-n^2 \cos nθ \sin θ+n\sin nθ \cos θ}{\sin θ}\\
\end{alignat}これらを微分方程式の左辺に代入します。
\begin{alignat}{2}
&  (1-x^2)y’’-xy’+n^2y\\
&=\frac{-n^2 \cos nθ \sin θ+n\sin nθ \cos θ}{\sin θ} -\cos θ \cdot \frac{n\sin nθ}{\sin θ} +n^2 \cos nθ\\
&=-n^2 \cos nθ+n^2 \cos nθ=0
\end{alignat}
よって、第 \(1\) 種チェビシェフ多項式 \(T_n(x)\) は$$(1-x^2)y’’-xy’+n^2y=0$$の解である。









\((2)\) \(\displaystyle y=U_n(x)=\frac{\sin (n+1)θ}{\sin θ} (x=\cos θ)\) であるので \(\displaystyle \left(\frac{dx}{dθ}=-\sin θ\right)\)
\begin{alignat}{2}
y’&=\frac{dy}{dx}=\frac{dθ}{dx} \cdot \frac{d}{dθ} \frac{\sin (n+1)θ}{\sin θ}\\
&=\left(-\frac{1}{\sin θ}\right)\cdot \frac{(n+1) \cos (n+1)θ \sin θ-\sin (n+1)θ \cos θ}{\sin^2 θ}\\
&=\frac{-(n+1) \cos (n+1)θ \sin θ+\sin (n+1)θ \cos θ}{\sin^3 θ}\\
&\\
y’’&=\frac{d^2y}{dx^2}=\frac{d}{dx} \cdot \frac{dy}{dx}=\frac{d}{dx}\left\{\frac{-(n+1) \cos (n+1)θ \sin θ+\sin (n+1)θ \cos θ}{\sin^3 θ}\right\}\\
&=\frac{dθ}{dx} \cdot \frac{d}{dθ}\left\{\frac{-(n+1) \cos (n+1)θ \sin θ+\sin (n+1)θ \cos θ}{\sin^3 θ}\right\}\\
&=\frac{1}{\sin θ} \cdot \frac{d}{dθ}\left\{\frac{(n+1) \cos (n+1)θ \sin θ-\sin (n+1)θ \cos θ}{\sin^3 θ}\right\}\\
\end{alignat}分子の式を \(f(θ)\) と置きます。すなわち$$f(θ)=(n+1) \cos (n+1)θ \sin θ-\sin (n+1)θ \cos θ$$このとき \(y’’\) は
\begin{alignat}{2}
y’’&=\frac{1}{\sin θ} \cdot \frac{d}{dθ} \cdot \frac{f(θ)}{\sin^3 θ}=\frac{1}{\sin θ} \cdot \frac{f’(θ)\sin^3 θ-f(θ) \cdot 3\sin^2 θ \cos θ}{\sin^6 θ}\\
&=\frac{f’(θ) \sin θ-3f(θ) \cos θ}{\sin^5 θ}\\
\end{alignat}\(f’(θ)\) を計算します。
\begin{alignat}{2}
f’(θ)&=(n+1) \{-(n+1)\sin (n+1)θ \sin θ+\cos (n+1)θ \cos θ\}-\{(n+1) \cos (n+1)θ \cos θ-\sin (n+1)θ \sin θ\}\\
&\\
&=-(n+1)^2\sin (n+1)θ \sin θ+(n+1)\cos (n+1)θ \cos θ\}-(n+1) \cos (n+1)θ \cos θ+\sin (n+1)θ \sin θ\\
&\\
&=-(n+1)^2\sin (n+1)θ \sin θ+\sin (n+1)θ \sin θ\\
&\\
&=-(n^2+2n+1)\sin (n+1)θ \sin θ+\sin (n+1)θ \sin θ\\
&\\
&=-(n^2+2n)\sin (n+1)θ \sin θ\\
\end{alignat}よって
\begin{alignat}{2}
(1-x^2)y’’&=(1- \cos^2 θ)\cdot \frac{-(n^2+2n)\sin (n+1)θ \sin^2 θ-3\{(n+1) \cos (n+1)θ \sin θ-\sin (n+1)θ \cos θ\} \cos θ}{\sin^5 θ}\\
&=\frac{-(n^2+2n)\sin (n+1)θ \sin^2 θ-3(n+1) \cos (n+1)θ \sin θ \cos θ+3\sin (n+1)θ \cos^2 θ }{\sin^3 θ}\\
&=-\frac{n(n+2) \sin (n+1)θ}{\sin θ} -\frac{3(n+1) \cos (n+1)θ \sin θ \cos θ-3\sin (n+1)θ \cos^2 θ }{\sin^3 θ}  \cdots (A)
\end{alignat}
ところで \(3xy’\) は
\begin{alignat}{2}
3xy’&=3 \cos θ \cdot \frac{-(n+1) \cos (n+1)θ \sin θ+\sin (n+1)θ \cos θ}{\sin^3 θ}\\
&=-\frac{3(n+1) \cos (n+1)θ \sin θ \cos θ-3\sin (n+1)θ \cos^2 θ }{\sin^3 θ}\\
\end{alignat}\(n(n+2)y\) は$$n(n+2)y=\frac{n(n+2) \sin (n+1)θ}{\sin θ}$$であるので、これらを \((A)\) の式に代入すれば$$(1-x^2)y’’=-n(n+2)y+3xy’$$移項します。

よって、第 \(2\) 種チェビシェフ多項式 \(U_n(x)\) は$$(1-x^2)y’’-3xy’+n(n+2)y=0$$の解である。

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