チェビシェフ多項式[1]

チェビシェフ多項式は次式で表されます。

\((a)\) 第 \(1\) 種チェビシェフ多項式$$T_n(x)=\cos nθ    (x=\cos θ)$$
\((b)\) 第 \(2\) 種チェビシェフ多項式$$U_n(x)=\frac{\sin (n+1)θ}{\sin θ}   (x=\cos θ)$$

チェビシェフ多項式について、以下の式が成り立ちます。
\begin{alignat}{2}
&(1)  T_{n+1}(x)-2xT_n(x)+T_{n-1}(x)=0\\
&(2)  U_{n+1}(x)-2xU_n(x)+U_{n-1}(x)=0\\
&(3)  T_n(x)=U_n(x)-xU_{n-1}(x)\\
&(4)  T_{n+1}(x)=xT_n(x)-(1-x^2)U_{n-1}(x)\\
&(5)  U_{n+1}(x)=2xT_n(x)+(2x^2-1)U_{n-1}(x)\\
\end{alignat}ただし、全て \(n \in \mathrm{N}\)








<証明>

\((1)\) 右の \(2\) 項を計算します。
\begin{alignat}{2}
2xT_n(x)-T_{n-1}(x)&=2 \cos θ\cos nθ-\cos (n-1)θ\\
&=\cos (n+1)θ+\cos (n-1)θ-\cos (n-1)θ\\
&=\cos (n+1)θ=T_{n+1}(x)\\
\end{alignat}以上より$$T_{n+1}(x)-2xT_n(x)+T_{n-1}(x)=0$$








\((2)\) 右の \(2\) 項を計算します。
\begin{alignat}{2}
2xU_n(x)-U_{n-1}(x)&=2 \cos θ \cdot \frac{\sin (n+1) θ}{\sin θ}-\frac{\sin nθ}{\sin θ}\\
&=\frac{2 \sin (n+1)θ \cos θ- \sin nθ}{\sin θ}\\
&=\frac{ \sin (n+2)θ+ \sin nθ- \sin nθ}{\sin θ}\\
&=\frac{\sin (n+2)θ}{\sin θ}=U_{n+1}(x)\\
\end{alignat}以上より$$U_{n+1}(x)-2xU_n(x)+U_{n-1}(x)=0$$







\((3)\) 右辺を計算します。
\begin{alignat}{2}
U_n(x)-xU_{n-1}(x)&=\frac{\sin (n+1)θ}{\sin θ}- \cos θ \cdot \frac{\sin nθ}{\sin θ}\\
&=\frac{\sin (n+1)θ- \sin nθ \cos θ}{\sin θ}\\
&=\frac{2\sin (n+1)θ- 2\sin nθ \cos θ}{2\sin θ}\\
&=\frac{2\sin (n+1)θ-\{ \sin (n+1)θ +\sin (n-1) θ\}}{2\sin θ}\\
&=\frac{\sin (n+1)θ-\sin (n-1) }{2\sin θ}\\
&=\frac{2 \cos nθ \sin θ}{2\sin θ}= \cos nθ=T_n(x)\\
\end{alignat}以上より$$T_n(x)=U_n(x)-xU_{n-1}(x)$$








\((4)\) 右辺を計算します。
\begin{alignat}{2}
xT_n(x)-(1-x^2)U_{n-1}(x)&=\cos θ \cos nθ-(1- \cos^2 θ) \cdot \frac{\sin nθ}{\sin θ} \\
&=\cos nθ \cos θ-\sin^2 θ \cdot \frac{\sin nθ}{\sin θ} \\
&=\cos nθ \cos θ-\sin nθ \sin θ\\
&=\cos (n+1)θ=T_{n+1}(x)\\
\end{alignat}以上より$$T_{n+1}(x)=xT_n(x)-(1-x^2)U_{n-1}(x)$$








\((4)\) 右辺を計算します。
\begin{alignat}{2}
2xT_n(x)+(2x^2-1)U_{n-1}(x)&=2 \cos θ \cos nθ+(2 \cos^2 θ-1) \cdot \frac{\sin nθ}{\sin θ}\\
&=2 \cos nθ \cos θ+\cos 2θ \cdot \frac{\sin nθ}{\sin θ}\\
&=\frac{\cos nθ (2 \sin θ \cos θ)+\sin nθ \cos 2θ}{\sin θ}\\
&=\frac{\sin nθ \cos 2θ+ \cos nθ \sin 2θ}{\sin θ}\\
&=\frac{\sin (n+2)θ}{\sin θ}=T_{n+1}(x)
\end{alignat}以上より$$U_{n+1}(x)=2xT_n(x)+(2x^2-1)U_{n-1}(x)$$

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