チェビシェフ多項式[10]

チェビシェフ多項式について、次式が成り立ちます。
\begin{alignat}{2}
&(1)  2T_n(x)=U_n(x)-U_{n-2}(x)\\
&(2)  2T_n(x)=\frac{T_{n+1}’(x)}{n+1}-\frac{T_{n-1}’(x)}{n-1}\\
&(3)  \{T_n(x)\}^2-(1-x^2)\{U_{n-1}(x)\}^2=1\\
&(4)  \{T_n(x)\}^2-T_{n-1}(x)T_{n+1}(x)=1-x^2\\
&(5)  \{U_{n}(x)\}^2-U_{n-1}(x)U_{n+1}(x)=1\\
&(6)  T_n(x)+\sqrt{x^2-1}U_{n-1}(x)=(x+\sqrt{x^2-1})^n\\
&(7)  U_{2n}(x)=1+2 \displaystyle\sum_{k=1}^n T_{2k}(x)\\
&(8)  U_{2n-1}(x)=2\displaystyle\sum_{k=1}^n T_{2k-1}(x)\\
\end{alignat}ただし、全て \(n \in \mathrm{N}\)












<証明>

次のチェビシェフ多項式の等式を用います。[詳細はこちらです。(A)(B)(C)]
\begin{alignat}{2}
&(A)  U_{n+1}-2xU_n(x)+U_{n-1}(x)=0\\
&(B)  T_n(x)=U_n(x)-xU_{n-1}(x)\\
&(C)  T_n’(x)=nU_{n-1}(x)\\
\end{alignat}





\((1)\) \((B)\) の式の両辺を \(2\) 倍します。$$2T_n(x)=2U_n(x)-2xU_{n-1}(x)$$\((A)\) の式の \(n\) を \(n-1\) として、移項します。$$2xU_{n-1}(x)=U_n(x)+U_{n-2}(x)$$この式を始めの式に代入します。
\begin{alignat}{2}
2T_n(x)&=2U_n(x)-\{U_n(x)+U_{n-2}(x)\}\\
&=2U_n(x)-U_n(x)-U_{n-2}(x)\\
&=U_n(x)-U_{n-2}(x)\\
\end{alignat}以上より$$2T_n(x)=U_n(x)-U_{n-2}(x)$$







\((2)\) \((C)\) の式の \(n\) をずらします。
\begin{cases}
\displaystyle T_{n+1}’(x)=(n+1)U_n(x),  U_n(x)=\frac{T_{n+1}’(x)}{n+1}\\
\displaystyle T_{n-1}’(x)=(n-1)U_{n-2}(x),  U_{n-2}(x)=\frac{T_{n-1}’(x)}{n-1}\\
\end{cases}これらを \((1)\) の式に代入します。以上より$$2T_n(x)=\frac{T_{n+1}’(x)}{n+1}-\frac{T_{n-1}’(x)}{n-1}$$








\((3)(4)(5)(6)\) はチェビシェフ多項式を三角関数に戻して計算します。
\begin{alignat}{2}
(3)  \{T_n(x)\}^2-(1-x^2)\{U_{n-1}(x)\}^2&=\cos^2 nθ+(1-\cos^2 θ) \left(\frac{\sin nθ}{\sin θ}\right)^2\\
&=\cos^2 nθ+\sin^2 θ \cdot \frac{\sin^2 nθ}{\sin^2 θ}\\
&=\cos^2 nθ+\sin^2 nθ=1\\
\end{alignat}以上より$$\{T_n(x)\}^2-(1-x^2)\{U_{n-1}(x)\}^2=1$$







\begin{alignat}{2}
(4)  \{T_n(x)\}^2-T_{n-1}(x)T_{n+1}(x)&=\cos^2 nθ+\cos (n-1)θ \cos (n+1)θ\\
&=\frac{1+\cos 2nθ}{2}-\frac{1}{2}(\cos 2nθ+\cos 2θ)\\
&=\frac{1}{2}-\frac{1}{2}\cos 2θ=\frac{1-\cos 2θ}{2}\\
&=\sin^2 θ=1- \cos^ 2 θ=1-x^2
\end{alignat}以上より$$\{T_n(x)\}^2-T_{n-1}(x)T_{n+1}(x)=1-x^2$$








\begin{alignat}{2}
(5)  \{U_n(x)\}^2-U_{n-1}(x)U_{n+1}(x)&=\left\{\frac{\sin (n+1)θ}{\sin θ}\right\}^2-\frac{\sin nθ}{\sin θ} \cdot \frac{\sin (n+2) θ}{\sin θ} \\
&=\frac{1}{\sin^2 θ}\{\sin^2 (n+1)θ-\sin (n+2)θ \sin nθ\}\\
&=\frac{1}{\sin^2 θ} \left[\frac{1-\cos 2(n+1)θ}{2}+\frac{1}{2}\{\cos (2n+2)θ- \cos 2θ\}\right]\\
&=\frac{1}{\sin^2 θ} \left(\frac{1}{2}-\frac{1}{2}\cos 2θ\right)\\
&=\frac{1}{\sin^2 θ} \cdot \frac{1-\cos 2θ}{2}=\frac{1}{\sin^2 θ} \cdot \sin^2 θ=1\\
\end{alignat}以上より$$\{U_{n}(x)\}^2-U_{n-1}(x)U_{n+1}(x)=1$$








\begin{alignat}{2}
(6)  T_n(x)+\sqrt{x^2-1}U_{n-1}(x)&=\cos nθ+\sqrt{\cos^2 θ-1} \cdot \frac{\sin nθ}{\sin θ}\\
&=\cos nθ+i\sqrt{1-\cos^2 θ} \cdot \frac{\sin nθ}{\sin θ}\\
&=\cos nθ+i \sin θ \cdot \frac{\sin nθ}{\sin θ}\\
&=\cos nθ+i \sin nθ=(\cos θ+i \sin θ)^n\\
&=(x+i\sqrt{1-x^2})^n=(x+\sqrt{x^2-1})^n\\
\end{alignat}以上より$$T_n(x)+\sqrt{x^2-1}U_{n-1}(x)=(x+\sqrt{x^2-1})^n$$







\((7)\) \((1)\) の式を用います。
\begin{alignat}{2}
\displaystyle\sum_{k=1}^n T_{2k}(x)&=T_2(x)+T_4(x)+T_6(x)+ \cdots +T_{2n-2}(x)+T_{2n}(x)\\
&=\frac{1}{2}\bigg[\{U_2(x)-U_0(x)\}+\{U_4(x)-U_2(x)\}+\{U_6(x)-U_4(x)\}+ \cdots \\
&        \cdots +\{U_{2n-2}(x)-U_{2n-4}(x)\}+\{U_{2n}(x)-U_{2n-2}(x)\} \bigg]\\
&=\frac{1}{2}\{U_{2n}(x)-U_0(x)\}=\frac{1}{2}\{U_{2n}(x)-1\}\\
\end{alignat}よって$$U_{2n}(x)-1=2\displaystyle\sum_{k=1}^n T_{2k}(x)$$以上より$$U_{2n}(x)=1+2 \displaystyle\sum_{k=1}^n T_{2k}(x)$$







\((8)\) \((1)\) の式を用います。
\begin{alignat}{2}
\displaystyle\sum_{k=1}^n T_{2k-1}(x)&=T_1(x)+T_3(x)+T_5(x)+ \cdots +T_{2n-3}(x)+T_{2n-1}(x)\\
&=T_1(x)+\frac{1}{2}\bigg[\{U_3(x)-U_1(x)\}+\{U_5(x)-U_3(x)\}+\{U_7(x)-U_5(x)\}+ \cdots \\
&        \cdots +\{U_{2n-3}(x)-U_{2n-5}(x)\}+\{U_{2n-1}(x)-U_{2n-3}(x)\} \bigg]\\
&=x+\frac{1}{2}\{U_{2n-1}(x)-U_1(x)\}\\
&=x+\frac{1}{2}\{U_{2n}(x)-2x\}=\frac{1}{2}U_{2n-1}\\
\end{alignat}以上より$$U_{2n-1}(x)=2\displaystyle\sum_{k=1}^n T_{2k-1}(x)$$

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