チェビシェフ多項式[3]

チェビシェフ多項式は次式で表されます。

\((a)\) 第 \(1\) 種チェビシェフ多項式$$T_n(x)=\cos nθ=\cos \{n(\cos^{-1} x) \}   (x=\cos θ)$$
\((b)\) 第 \(2\) 種チェビシェフ多項式$$U_n(x)=\frac{\sin (n+1)θ}{\sin θ}=\frac{\sin \{(n+1)(\cos^{-1} x)\}}{\sin (\cos^{-1} x)}   (x=\cos θ)$$

チェビシェフ多項式について、以下の式が成り立ちます。
\begin{alignat}{2}
&(1)  T_n(1)=1\\
&(2)  T_n(-1)=(-1)^n\\
&(3)  U_n(1)=n+1\\
&(4)  U_n(-1)=(-1)^n(n+1)\\
&(5)  T_{2n}(0)=(-1)^n\\
&(6)  T_{2n+1}(0)=0\\
&(7)  U_{2n}(0)=(-1)^n\\
&(8)  U_{2n+1}(0)=0\\
&(9)  T_n(-x)=(-1)^nT_n(x)\\
&(10)  U_n(-x)=(-1)^nU_n(x)\\
\end{alignat}






<証明>

\((1)\) \(x=1\) のとき \(\cos θ=1\)、すなわち \(θ=0\) であるので$$T_n(1)=\cos 0=1$$

\((2)\) \(x=-1\) のとき \(\cos θ=-1\)、すなわち \(θ=π\) であるので$$T_n(-1)=\cos nπ=(-1)^n$$

\((3)\) \(x=1\) のとき \(\cos θ=1\)、すなわち \(θ=0\) であるので (ロピタルの定理を用いて)$$U_n(1)=\displaystyle\lim_{θ \to 0} \frac{\sin (n+1)θ}{\sin θ}=\displaystyle\lim_{θ \to 0} \frac{(n+1) \cos (n+1)θ}{\cos θ}=n+1$$

\((4)\) \(x=-1\) のとき \(\cos θ=-1\)、すなわち \(θ=π\) であるので (ロピタルの定理を用いて)
\begin{alignat}{2}
U_n(1-)&=\displaystyle\lim_{θ \to π} \frac{\sin (n+1)θ}{\sin θ}=\displaystyle\lim_{θ \to π} \frac{(n+1) \cos (n+1)θ}{\cos θ}\\
&=(n+1) \cdot \frac{\cos (n+1)π}{\cos π}=-(n+1) \cos (nπ+π)\\
&=(n+1) \cos nπ=(-1)^n (n+1)\\
\end{alignat}



\((5)(6)(7)(8)\) \(x=0\) のとき \(\cos θ=0\)、すなわち \(\displaystyle θ=\frac{π}{2}\) であるので
\begin{alignat}{2}
T_{2n}(0)&=\cos \left(2n \cdot \frac{π}{2}\right)=\cos nπ=(-1)^n\\
&\\
&\\
T_{2n+1}(0)&=\cos \left\{(2n+1)\cdot \frac{π}{2}\right\}=\cos \left(nπ+\frac{π}{2}\right)\\
&=-\sin nπ=0\\
&\\
&\\
U_{2n}(0)&=\frac{\sin \left\{(2n+1) \cdot \frac{π}{2}\right\}}{\sin\frac{π}{2}}=\sin \left(nπ+\frac{π}{2}\right)\\
&=\cos nπ=(-1)^n\\
&\\
&\\
U_{2n+1}(0)&=\frac{\sin \left\{(2n+2) \cdot \frac{π}{2}\right\}}{\sin\frac{π}{2}}=\sin (n+1)π=0\\
\end{alignat}







\((9)\) 次の第 \(1\) 種チェビシェフ多項式において$$T_n(x)=\cos nθ=\cos \{n(\cos^{-1} x)\}$$\(x\) を \(-x\) とすると
\begin{alignat}{2}
T_n(-x)&=\cos \{n\cos^{-1} (-x)\}  (x \gt 0)\\
&=\cos \{n(π-\cos^{-1} x)\}\\
\end{alignat}\(\cos θ=x\) より \(\cos^{-1} x=θ\) であるから
\begin{alignat}{2}
&=\cos \{n(π-θ)\}=\cos (nπ-nθ)\\
&=(-1)^n \cos (-nθ)=(-1)^n \cos nθ=(-1)^nT_n(x)\\
\end{alignat}以上より$$T_n(-x)=(-1)^nT_n(x)$$








\((10)\) 次の第 \(2\) 種チェビシェフ多項式において$$U_n(x)=\frac{\sin (n+1)θ}{\sin θ}=\frac{\sin \{(n+1)(\cos^{-1} x)\}}{\sin (\cos^{-1} x)}$$\(x\) を \(-x\) とすると
\begin{alignat}{2}
U_n(-x)&=\frac{\sin [(n+1)\{\cos^{-1} (-x)\}]}{\sin \{\cos^{-1} (-x)\}}  (x \gt 0)\\
&=\frac{\sin \{(n+1)(π-\cos^{-1} x)\}}{\sin (π-\cos^{-1} x)}\\
\end{alignat}\(\cos θ=x\) より \(\cos^{-1} x=θ\) であるから
\begin{alignat}{2}
&=\frac{\sin \{(n+1)(π-θ)\}}{\sin (π-θ)}=\frac{\sin \{(n+1)π-(n+1)θ\}}{\sin θ}\\
&=(-1)^{n+1} \cdot \frac{\sin \{-(n+1)θ\}}{\sin θ}\\
&=(-1)^{n} \cdot \frac{\sin (n+1)θ}{\sin θ}=(-1)^nU_n(x)
\end{alignat}以上より$$U_n(-x)=(-1)^nU_n(x)$$

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