チェビシェフ多項式[4]

チェビシェフ多項式について、次式が成り立ちます。
\begin{alignat}{2}
&(1)  \frac{1-tx}{1-2tx+t^2}=\displaystyle\sum_{n=0}^{\infty} T_n(x)t^n\\
&      \left[\,\,\,\,\mathrm{or}\,\,\,\,\frac{1-t^2}{1-2tx+t^2}=1+2\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty} T_n(x)t^n\right]\\
&(2)  \frac{1}{1-2tx+t^2}=\displaystyle\sum_{n=0}^{\infty} U_n(x)t^n\\
&(3)  \displaystyle\sum_{n=1}^{\infty} T_n(x)\frac{t^n}{n}=-\frac{1}{2}\log (1-2tx+t^2)\\
\end{alignat}ただし、全て \(|t| \lt 1\)












<証明>

次のチェビシェフ多項式の等式を用います。(詳細はこちらです)
\begin{alignat}{2}
&(A)  T_{n+1}(x)-2xT_n(x)+T_{n-1}(x)=0\\
&(B)  U_{n+1}(x)-2xU_n(x)+U_{n-1}(x)=0\\
\end{alignat}





\((1)\) 次のように第 \(1\) 種チェビシェフ多項式の母関数を \(g(x)\) と置きます。$$g(x)=\displaystyle\sum_{n=0}^{\infty} T_n(x)t^n=T_0(x)+T_1(x)t+T_2(x)t^2+T_3(x)t^3+ \cdots    \cdots(C)$$\((C)\) の式の両辺に \(-2tx\) を掛けます。$$-2txg(x)=-2xT_0(x)t-2xT_1(x)t^2-2xT_2(x)t^3-2xT_3(x)t^4- \cdots   \cdots(D)$$\((C)\) の式の両辺に \(t^2\) を掛けます。$$t^2g(x)=T_0(x)t^2+T_1(x)t^3+T_2(x)t^4+T_3(x)t^5+ \cdots   \cdots(E)$$\((C)(D)(E)\) を足し合わせます。
\begin{alignat}{2}
(1-2tx+t^2)g(x)&=T_0(x)+\{T_1(x)-2xT_0(x)\}t+\{T_2(x)-2xT_1(x)+T_0(x)\}t^2+\\
&    +\{T_3(x)-2xT_2(x)+T_1(x)\}t^3+\{T_4(x)-2xT_3(x)+T_2(x)\}t^4+ \cdots \\
\end{alignat}\(T_0(x)=1,\,T_1(x)=x\) と \((A)\) の式を用いると$$(1-2tx+t^2)g(x)=1-tx,  g(x)=\frac{1-tx}{1-2tx+t^2}$$ 以上より$$\frac{1-tx}{1-2tx+t^2}=\displaystyle\sum_{n=0}^{\infty} T_n(x)t^n$$

上記の式の両辺を \(2\) 倍して、分子に分母と同じ式を作ります。
\begin{alignat}{2}
\frac{2-2tx}{1-2tx+t^2}&=2\displaystyle\sum_{n=0}^{\infty} T_n(x)t^n\\
\frac{1-2tx+t^2+(1-t^2)}{1-2tx+t^2}&=2T_0(x)+2\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty} T_n(x)t^n\\
1+\frac{1-t^2}{1-2tx+t^2}&=2+2\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty} T_n(x)t^n\\
\end{alignat}以上より$$\frac{1-t^2}{1-2tx+t^2}=1+2\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty} T_n(x)t^n$$









\((2)\) 次のように第 \(2\) 種チェビシェフ多項式の母関数を \(g(x)\) と置きます。$$g(x)=\displaystyle\sum_{n=0}^{\infty} U_n(x)t^n=U_0(x)+U_1(x)t+U_2(x)t^2+U_3(x)t^3+ \cdots    \cdots(F)$$\((F)\) の式の両辺に \(-2tx\) を掛けます。$$-2txg(x)=-2xU_0(x)t-2xU_1(x)t^2-2xU_2(x)t^3-2xU_3(x)t^4- \cdots   \cdots(G)$$\((F)\) の式の両辺に \(t^2\) を掛けます。$$t^2g(x)=U_0(x)t^2+U_1(x)t^3+U_2(x)t^4+U_3(x)t^5+ \cdots   \cdots(H)$$\((F)(G)(H)\) を足し合わせます。
\begin{alignat}{2}
(1-2tx+t^2)g(x)&=U_0(x)+\{U_1(x)-2xU_0(x)\}t+\{U_2(x)-2xU_1(x)+U_0(x)\}t^2+\\
&    +\{U_3(x)-2xU_2(x)+U_1(x)\}t^3+\{U_4(x)-2xU_3(x)+U_2(x)\}t^4+ \cdots \\
\end{alignat}\(U_0(x)=1,\,U_1(x)=2x\) と \((B)\) の式を用いると$$(1-2tx+t^2)g(x)=1,  g(x)=\frac{1}{1-2tx+t^2}$$ 以上より$$\frac{1}{1-2tx+t^2}=\displaystyle\sum_{n=0}^{\infty} U_n(x)t^n$$








\((3)\) \((1)\) の式で \(n=0\) のときを外に出します。$$\frac{1-tx}{1-2tx+t^2}=1+\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty} T_n(x)t^n$$ この式を変形します。
\begin{alignat}{2}
\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty} T_n(x)t^n&=\frac{1-tx}{1-2tx+t^2}-1\\
&=\frac{1-tx-(1-2tx+t^2)}{1-2tx+t^2}\\
&=\frac{tx-t^2}{1-2tx+t^2}=-\frac{1}{2}\cdot \frac{t(-2x+2t)}{1-2tx+t^2}\\
\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty} T_n(x)t^{n-1}&=-\frac{1}{2}\cdot \frac{-2x+2t}{1-2tx+t^2}\\
\end{alignat}両辺を \(t\) で積分します。
\begin{alignat}{2}
\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty} T_n(x)\displaystyle\int t^{n-1}dt&=-\frac{1}{2}\cdot \displaystyle\int \frac{-2x+2t}{1-2tx+t^2}dt\\
\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty} T_n(x)\frac{t^n}{n}&=-\frac{1}{2}\log (1-2tx+t^2)+C\\
\end{alignat}\(t=0\) のとき \(C=0\) であるので、以上より$$\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty} T_n(x)\frac{t^n}{n}=-\frac{1}{2}\log (1-2tx+t^2)$$

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