チェビシェフ多項式[5]

チェビシェフ多項式について、次式が成り立ちます。
\begin{alignat}{2}
(1)  T_n(x)&=\cos nθ=\frac{(x+i\sqrt{1-x^2})^n+(x-i\sqrt{1-x^2})^n}{2}\\
&=\displaystyle\sum_{k=0}^{\left[\frac{n}{2}\right]} {}_n\mathrm{C}_{2k} (-1)^k x^{n-2k}(1-x^2)^k\\
&\\
(2)  U_n(x)&=\frac{\sin (n+1)θ}{\sin θ}=\frac{(x+i\sqrt{1-x^2})^{n+1}-(x-i\sqrt{1-x^2})^{n+1}}{2i\sqrt{1-x^2}}\\
&=\displaystyle\sum_{k=0}^{\left[\frac{n}{2}\right]} {}_{n+1}\mathrm{C}_{2k+1} (-1)^k x^{n-2k}(1-x^2)^k\\
\end{alignat}















<証明>

\((1)\) オイラーの公式を用います。
\begin{alignat}{2}
T_n(x)&=\cos nθ=\frac{e^{inθ}+e^{-inθ}}{2}=\frac{(e^{iθ})^n+(e^{-iθ})^n}{2}\\
&=\frac{(\cos θ+i\sin θ)^n +(\cos θ-i\sin θ)^n}{2}\\
\end{alignat}\(\cos θ=x\) であるので$$T_n(x)=\frac{(x+i\sqrt{1-x^2})^n+(x-i\sqrt{1-x^2})^n}{2}$$二項定理を用います。左右の項はそれぞれ
\begin{alignat}{2}
(x+i\sqrt{1-x^2})^n&=\displaystyle\sum_{k=0}^n {}_n\mathrm{C}_k x^{n-k} (i\sqrt{1-x^2})^k\\
&={}_n\mathrm{C}_0 x^n +{}_n\mathrm{C}_1 x^{n-1} (i\sqrt{1-x^2})+{}_n\mathrm{C}_2 x^{n-2} (i\sqrt{1-x^2})^2 + \cdots \\
&\\
&          \cdots +{}_n\mathrm{C}_{n-1} x (i\sqrt{1-x^2})^{n-1}+{}_n\mathrm{C}_n (i\sqrt{1-x^2})^n\\
&\\
&\\
(x-i\sqrt{1-x^2})^n&=\displaystyle\sum_{k=0}^n {}_n\mathrm{C}_k x^{n-k} (-i\sqrt{1-x^2})^k\\
&={}_n\mathrm{C}_0 x^n -{}_n\mathrm{C}_1 x^{n-1} (i\sqrt{1-x^2})+{}_n\mathrm{C}_2 x^{n-2} (i\sqrt{1-x^2})^2 – \cdots \\
&\\
&          \cdots +(-1)^{n-1}{}_n\mathrm{C}_{n-1} x (i\sqrt{1-x^2})^{n-1}+(-1)^n{}_n\mathrm{C}_n (i\sqrt{1-x^2})^n\\
\end{alignat}
となるので、偶数項が打ち消し合い、奇数項が \(2\) つ分になります。
\begin{alignat}{2}
T_n(x)&={}_n\mathrm{C}_0 x^n+{}_n\mathrm{C}_2 x^{n-2} (i\sqrt{1-x^2})^2+{}_n\mathrm{C}_4 x^{n-4} (i\sqrt{1-x^2})^2+{}_n\mathrm{C}_6 x^{n-6} (i\sqrt{1-x^2})^6+ \cdots \\
&\\
&={}_n\mathrm{C}_0 x^n-{}_n\mathrm{C}_2 x^{n-2} (1-x^2)+{}_n\mathrm{C}_4 x^{n-4} (1-x^2)^2-{}_n\mathrm{C}_6 x^{n-6} (1-x^2)^3+ \cdots \\
\end{alignat}この式をシグマを用いて表します。 \(k\) は \(\displaystyle \frac{n}{2}\) を超えないことに注意します。以上より$$T_n(x)=\cos nθ=\displaystyle\sum_{k=0}^{\left[\frac{n}{2}\right]} {}_n\mathrm{C}_{2k} (-1)^k x^{n-2k}(1-x^2)^k$$











\((2)\) オイラーの公式を用います。
\begin{alignat}{2}
U_n(x)&=\frac{\sin (n+1)θ}{\sin θ}=\frac{1}{\sin θ} \cdot\frac{e^{i(n+1)θ}-e^{-i(n+1)θ}}{2i}=\frac{1}{\sin θ} \cdot\frac{(e^{iθ})^{n+1}-(e^{-iθ})^{n+1}}{2}\\
&=\frac{1}{\sin θ} \cdot \frac{(\cos θ+i\sin θ)^{n+1} -(\cos θ-i\sin θ)^{n+1}}{2i}\\
\end{alignat}\(\cos θ=x\) であるので$$U_n(x)=\frac{(x+i\sqrt{1-x^2})^{n+1}-(x-i\sqrt{1-x^2})^{n+1}}{2i\sqrt{1-x^2}}$$二項定理を用います。左右の項はそれぞれ
\begin{alignat}{2}
(x+i\sqrt{1-x^2})^{n+1}&=\displaystyle\sum_{k=0}^{n+1} {}_{n+1}\mathrm{C}_k x^{n+1-k} (i\sqrt{1-x^2})^k\\
&={}_{n+1}\mathrm{C}_0 x^{n+1} +{}_{n+1}\mathrm{C}_1 x^{n} (i\sqrt{1-x^2})+{}_{n+1}\mathrm{C}_2 x^{n-1} (i\sqrt{1-x^2})^2 + \cdots \\
&\\
&          \cdots +{}_{n+1}\mathrm{C}_{n} x (i\sqrt{1-x^2})^{n}+{}_{n+1}\mathrm{C}_{n+1} (i\sqrt{1-x^2})^{n+1}\\
&\\
&\\
(x-i\sqrt{1-x^2})^{n+1}&=\displaystyle\sum_{k=0}^{n+1} {}_{n+1}\mathrm{C}_k x^{n+1-k} (-i\sqrt{1-x^2})^k\\
&={}_{n+1}\mathrm{C}_0 x^{n+1} -{}_{n+1}\mathrm{C}_1 x^{n} (i\sqrt{1-x^2})+{}_{n+1}\mathrm{C}_2 x^{n-1} (i\sqrt{1-x^2})^2 – \cdots \\
&\\
&          \cdots +(-1)^{n}{}_{n+1}\mathrm{C}_{n} x (i\sqrt{1-x^2})^{n}+(-1)^{n+1}{}_{n+1}\mathrm{C}_{n+1} (i\sqrt{1-x^2})^{n+1}\\
\end{alignat}
となるので、奇数項が打ち消し合い、偶数項が \(2\) つ分になります。
\begin{alignat}{2}
U_n(x)&=\frac{1}{i\sqrt{1-x^2}}\left\{{}_{n+1}\mathrm{C}_1 x^n(i\sqrt{1-x^2})+{}_{n+1}\mathrm{C}_3 x^{n-2} (i\sqrt{1-x^2})^3+{}_{n+1}\mathrm{C}_5x^{n-4} (i\sqrt{1-x^2})^5+{}_{n+1}\mathrm{C}_7 x^{n-6} (i\sqrt{1-x^2})^7+ \cdots\right\} \\
&\\
&={}_{n+1}\mathrm{C}_1 x^n-{}_{n+1}\mathrm{C}_3 x^{n-2} (1-x^2)+{}_{n+1}\mathrm{C}_5 x^{n-4} (1-x^2)^2-{}_{n+1}\mathrm{C}_7 x^{n-6} (1-x^2)^3+ \cdots \\
\end{alignat}この式をシグマを用いて表します。 \(k\) は \(\displaystyle \frac{n}{2}\) を超えないことに注意します。以上より$$U_n(x)=\frac{\sin (n+1)θ}{\sin θ}=\displaystyle\sum_{k=0}^{\left[\frac{n}{2}\right]} {}_{n+1}\mathrm{C}_{2k+1} (-1)^k x^{n-2k}(1-x^2)^k$$

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