超幾何級数[7]

超幾何級数について、次式が成り立ちます。
\begin{alignat}{2}
&(1)  (b-a){}_2F_1(a,b;c;z)+a{}_2F_1(a+1,b;c;z)-b{}_2F_1(a,b+1;c;z)=0\\
&(2)  (c-a-1){}_2F_1(a,b;c;z)+a{}_2F_1(a+1,b;c;z)-(c-1){}_2F_1(a,b;c-1;z)=0\\
&(3)  (c-a-b){}_2F_1(a,b;c;z)+a(1-z){}_2F_1(a+1,b;c;z)+(b-c){}_2F_1(a,b-1;c;z)=0\\
\end{alignat}















<証明>

全て右の \(2\) 項の計算を行います。
\begin{alignat}{2}
&(1)  a{}_2F_1(a+1,b;c;z)-b{}_2F_1(a,b+1;c;z)\\
&=a \displaystyle\sum_{n=0}^{\infty} \frac{(a+1)_n(b)_n}{(c)_n} \cdot \frac{z^n}{n!}-b\displaystyle\sum_{n=0}^{\infty} \frac{(a)_n(b+1)_n}{(c)_n} \cdot \frac{z^n}{n!}\\
&=\displaystyle\sum_{n=0}^{\infty} \frac{(a+n) \cdot (a)_n(b)_n}{(c)_n} \cdot \frac{z^n}{n!}-\displaystyle\sum_{n=0}^{\infty} \frac{(b+n) \cdot (a)_n(b)_n}{(c)_n} \cdot \frac{z^n}{n!}\\
&=\displaystyle\sum_{n=0}^{\infty} \frac{\{a+n-(b+n)\} \cdot (a)_n(b)_n}{(c)_n} \cdot \frac{z^n}{n!}\\
&=(a-b)\displaystyle\sum_{n=0}^{\infty} \frac{(a)_n(b)_n}{(c)_n} \cdot \frac{z^n}{n!}=(a-b){}_2F_1(a+1,b;c;z)
\end{alignat}以上より$$(b-a){}_2F_1(a,b;c;z)+a{}_2F_1(a+1,b;c;z)-b{}_2F_1(a,b+1;c;z)=0$$









\begin{alignat}{2}
&(2)  a{}_2F_1(a+1,b;c;z)-(c-1){}_2F_1(a,b;c-1;z)\\
&=a \displaystyle\sum_{n=0}^{\infty} \frac{(a+1)_n(b)_n}{(c)_n} \cdot \frac{z^n}{n!}-(c-1)\displaystyle\sum_{n=0}^{\infty} \frac{(a)_n(b)_n}{(c-1)_n} \cdot \frac{z^n}{n!}\\
&=\displaystyle\sum_{n=0}^{\infty} \frac{(a+n) \cdot (a)_n(b)_n}{(c)_n} \cdot \frac{z^n}{n!}-\displaystyle\sum_{n=0}^{\infty} \frac{(c+n-1) \cdot (a)_n(b)_n}{(c)_n} \cdot \frac{z^n}{n!}\\
&=\displaystyle\sum_{n=0}^{\infty} \frac{\{a+n-(c+n-1)\} \cdot (a)_n(b)_n}{(c)_n} \cdot \frac{z^n}{n!}\\
&=(a-c+1)\displaystyle\sum_{n=0}^{\infty} \frac{(a)_n(b)_n}{(c)_n} \cdot \frac{z^n}{n!}=(a-c+1){}_2F_1(a+1,b;c;z)
\end{alignat}以上より$$(c-a-1){}_2F_1(a,b;c;z)+a{}_2F_1(a+1,b;c;z)-(c-1){}_2F_1(a,b;c-1;z)=0$$









\begin{alignat}{2}
&(3)  a(1-z){}_2F_1(a+1,b;c;z)+(b-c){}_2F_1(a,b-1;c;z)\\
&=a(1-z) \displaystyle\sum_{n=0}^{\infty} \frac{(a+1)_n(b)_n}{(c)_n} \cdot \frac{z^n}{n!}+(b-c)\displaystyle\sum_{n=0}^{\infty} \frac{(a)_n(b-1)_n}{(c)_n} \cdot \frac{z^n}{n!}\\
&=a \displaystyle\sum_{n=0}^{\infty} \frac{(a+1)_n(b)_n}{(c)_n} \cdot \frac{z^n}{n!}-a \displaystyle\sum_{n=0}^{\infty} \frac{(a+1)_n(b)_n}{(c)_n} \cdot \frac{z^{n+1}}{n!}+(b-c)\displaystyle\sum_{n=0}^{\infty} \frac{(a)_n(b-1)_n}{(c)_n} \cdot \frac{z^n}{n!}\\
&= \displaystyle\sum_{n=0}^{\infty} \frac{(a+n) \cdot (a)_n(b)_n}{(c)_n} \cdot \frac{z^n}{n!}-a \displaystyle\sum_{n=1}^{\infty} \frac{(a+1)_{n-1}(b)_{n-1}}{(c)_{n-1}} \cdot \frac{z^{n}}{(n-1)!}+(b-c)(b-1)\displaystyle\sum_{n=0}^{\infty} \frac{1}{b+n-1} \cdot \frac{(a)_n(b)_n}{(c)_n} \cdot \frac{z^n}{n!}\\
&= \displaystyle\sum_{n=0}^{\infty} \frac{(a+n) \cdot (a)_n(b)_n}{(c)_n} \cdot \frac{z^n}{n!}- \displaystyle\sum_{n=1}^{\infty} \frac{n(c+n-1)}{b+n-1} \cdot \frac{(a)_{n}(b)_{n}}{(c)_{n}} \cdot \frac{z^{n}}{n!}+(b-c)(b-1)\displaystyle\sum_{n=0}^{\infty} \frac{1}{b+n-1} \cdot \frac{(a)_n(b)_n}{(c)_n} \cdot \frac{z^n}{n!}\\
&= \displaystyle\sum_{n=0}^{\infty} \frac{(a+n) \cdot (a)_n(b)_n}{(c)_n} \cdot \frac{z^n}{n!}- \displaystyle\sum_{n=0}^{\infty} \frac{n(c+n-1)}{b+n-1} \cdot \frac{(a)_{n}(b)_{n}}{(c)_{n}} \cdot \frac{z^{n}}{n!}+(b-c)(b-1)\displaystyle\sum_{n=0}^{\infty} \frac{1}{b+n-1} \cdot \frac{(a)_n(b)_n}{(c)_n} \cdot \frac{z^n}{n!}\\
&=\displaystyle\sum_{n=0}^{\infty} \left\{(a+n)-\frac{n(c+n-1)}{b+n-1}+\frac{(b-c)(b-1)}{b+n-1}\right\}\cdot \frac{(a)_n(b)_n}{(c)_n} \cdot \frac{z^n}{n!}\\
&=\displaystyle\sum_{n=0}^{\infty} \frac{(a+n)(b+n-1) -n(c+n-1)+(b-c)(b-1)}{b+n-1}\cdot \frac{(a)_n(b)_n}{(c)_n} \cdot \frac{z^n}{n!}\\
&=\displaystyle\sum_{n=0}^{\infty} \frac{ab+na-a+nb+n^2-n-nc-n^2+n+b^2-b-bc+c}{b+n-1}\cdot \frac{(a)_n(b)_n}{(c)_n} \cdot \frac{z^n}{n!}\\
&=\displaystyle\sum_{n=0}^{\infty} \frac{n(a+b-c)+ab-a+b^2-b-bc+c}{b+n-1}\cdot \frac{(a)_n(b)_n}{(c)_n} \cdot \frac{z^n}{n!}\\
&=\displaystyle\sum_{n=0}^{\infty} \frac{n(a+b-c)+a(b-1)+b(b-1)-c(b-1)}{b+n-1}\cdot \frac{(a)_n(b)_n}{(c)_n} \cdot \frac{z^n}{n!}\\
&=\displaystyle\sum_{n=0}^{\infty} \frac{n(a+b-c)+(b-1)(a+b-c)}{b+n-1}\cdot \frac{(a)_n(b)_n}{(c)_n} \cdot \frac{z^n}{n!}\\
&=\displaystyle\sum_{n=0}^{\infty} \frac{(n+b-1)(a+b-c)}{b+n-1}\cdot \frac{(a)_n(b)_n}{(c)_n} \cdot \frac{z^n}{n!}\\
&=(a+b-c)\displaystyle\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(a)_n(b)_n}{(c)_n} \cdot \frac{z^n}{n!}=(a+b-c){}_2F_1(a,b;c;z)\\
\end{alignat}以上より$$(c-a-b){}_2F_1(a,b;c;z)+a(1-z){}_2F_1(a+1,b;c;z)+(b-c){}_2F_1(a,b-1;c;z)=0$$

コメントを残す

メールアドレスが公開されることはありません。 * が付いている欄は必須項目です