ウォリス積

次の等式はウォリス積と呼ばれます。$$\displaystyle\prod_{n=1}^{\infty} \frac{4n^2}{4n^2-1}=\frac{π}{2}$$途中で(流れが似ているため)下記の式も証明しますが「ウォリス積」のみご覧になられる方は(A)から下まで飛んで下さい。 $$\displaystyle\lim_{n \to \infty} \frac{2^{2n} (n!)^2}{\{(2n)!\} \sqrt{n}}=\sqrt{π}$$



<証明>
\(0 \lt x \lt \displaystyle\frac{π}{2}\) のとき、\(0 \lt \sin x \lt 1\) であるから$$ \sin^{2n} x \lt \sin^{2n-1} x \lt \sin^{2n-2} x$$全て区間 \(0\) から \(\displaystyle\frac{π}{2}\) で積分すると $$\displaystyle\int_0^{\frac{π}{2}}\sin^{2n} xdx \lt \displaystyle\int_0^{\frac{π}{2}} \sin^{2n-1} xdx \lt \displaystyle\int_0^{\frac{π}{2}} \sin^{2n-2} xdx$$$$ここで  I_n=\displaystyle\int_0^{\frac{π}{2}} \sin^n xdx とおくと $$$$I_{2n} \lt I_{2n-1} \lt I_{2n-2}$$ \( \sin^n x\) の漸化式を用いると$$\frac{2n-1}{2n} \cdot \frac{2n-3}{2n-2} \cdots \frac{3}{4} \cdot \frac{1}{2} \cdot \frac{π}{2} \lt \frac{2n-2}{2n-1}\cdot \frac{2n-4}{2n-3} \cdots \frac{4}{5} \cdot \frac{2}{3} \cdot 1 $$$$\lt \frac{2n-3}{2n-2} \cdot \frac{2n-5}{2n-4} \cdots \frac{3}{4}\cdot \frac{1}{2} \cdot \frac{π}{2}$$ 全てに\(\displaystyle\frac{(2n)!!}{(2n-1)!!}\) を掛けます。$$\frac{π}{2} \lt 2n \cdot \frac{(2n-2)^2}{(2n-1)^2}\cdot \frac{(2n-4)^2}{(2n-3)^2}\cdot \frac{4^2}{5^2} \cdot \frac{2^2}{3^2}\cdot 1 \lt \frac{2n}{2n-1} \cdot \frac{π}{2}=\frac{2}{2-\frac{1}{n}} \cdot \frac{π}{2}$$ \(n \to \infty \) のとき、はさみうちの原理より、中辺は \(\displaystyle\frac{π}{2}\) に収束しますので
$$\displaystyle\lim_{n \to \infty}\left\{2n \cdot \frac{(2n-2)^2}{(2n-1)^2}\cdot \frac{(2n-4)^2}{(2n-3)^2}\cdot \frac{4^2}{5^2} \cdot \frac{2^2}{3^2}\cdot 1 \right\}=\frac{π}{2} \cdots (A)$$ 積の順番を逆にして、分子と分母に \(n\) を掛けて両辺を \(2\) 倍します。
$$\displaystyle\lim_{n \to \infty}\left\{1 \cdot \frac{2^2}{3^2} \cdot \frac{4^2}{5^2} \cdots \frac{(2n-2)^2}{(2n-1)^2} \cdot \frac{(2n)^2}{n}\right\}=π $$ 階乗を用いて表すために分子と分母に \(2^2 \cdot 4^2 \cdots (2n)^2\) を掛けます。$$π=\displaystyle\lim_{n \to \infty} \frac{2^4 \cdot 4^4 \cdot 6^4 \cdots (2n-4)^4 \cdot (2n)^4}{1^2 \cdot 2^2 \cdot 3^2 \cdot 4^2 \cdot 5^2 \cdots (2n-1)^2 \cdot (2n)^2 \cdot n}$$$$=\displaystyle\lim_{n \to \infty} \frac{\{2 \cdot 4 \cdot 6 \cdots (2n-4) \cdot (2n)\}^4}{\{1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 4 \cdot 5 \cdots (2n-1) \cdot (2n)\}^2 \cdot n}$$$$=\displaystyle\lim_{n \to \infty} \frac{2^{4n}\{1 \cdot 2 \cdot 3 \cdots (n-1) \cdot n\}^4}{\{(2n)!\}^2 \cdot n}=\displaystyle\lim_{n \to \infty} \frac{2^{4n} (n!)^4}{\{(2n)!\}^2 \cdot n}$$ 以上より次式を得ます。$$\displaystyle\lim_{n \to \infty} \frac{2^{2n} (n!)^2}{\{(2n)!\} \sqrt{n}}=\sqrt{π}$$


(A)の式の積の順序を入れ替えて \(\displaystyle\frac{2n}{2n+1}\) を掛けます。\(\left(\displaystyle\lim_{n \to \infty} \frac{2n}{2n+1}=1 \right) \)
$$\displaystyle\lim_{n \to \infty}\left\{1 \cdot \frac{2^2}{3^2} \cdot \frac{4^2}{5^2} \cdots \frac{(2n-2)^2}{(2n-1)^2} \cdot \frac{(2n)^2}{2n+1}\right\}=\frac{π}{2} \cdots (A)$$ 積を組合せて整理します。$$ \displaystyle\lim_{n \to \infty}\left\{\frac{2^2}{1 \cdot 3} \cdot \frac{4^2}{3 \cdot 5} \cdot \frac{6^2}{5 \cdot 7} \cdots \frac{(2n-2)^2}{(2n-3)(2n-1)} \cdot \frac{(2n)^2}{(2n-1)(2n+1)}\right\}=\frac{π}{2} $$$$\displaystyle\prod_{n=1}^{\infty} \frac{(2n)^2}{(2n-1)(2n+1)}=\frac{π}{2}$$ 以上より $$\displaystyle\prod_{n=1}^{\infty} \frac{4n^2}{4n^2-1}=\frac{π}{2}$$

<\( \sin x\) の無限積を用いた別証明> $$\sin πx=πx\displaystyle\prod_{n=1}^{\infty} \left(1-\frac{x^2}{n^2}\right)$$ 上の式において \(\displaystyle x=\frac{1}{2}\) を代入します。
$$1=\frac{π}{2}\displaystyle\prod_{n=1}^{\infty} \left(1-\frac{1}{4n^2}\right)=\frac{π}{2}\displaystyle\prod_{n=1}^{\infty} \frac{4n^2-1}{4n^2} , \frac{2}{π}=\displaystyle\prod_{n=1}^{\infty} \frac{4n^2-1}{4n^2} $$ よって $$\displaystyle\prod_{n=1}^{\infty} \frac{4n^2}{4n^2-1}=\frac{π}{2}$$

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