x^{-(1/2)}e^{-ax-(b/x)}[0,∞]などの定積分

\begin{alignat}{2}
&(1)  \displaystyle\int_0^{\infty} x^{-\frac{1}{2}}e^{-ax-\frac{b}{x}}dx=\sqrt{\frac{π}{a}} e^{-2\sqrt{ab}}\\
&(2)  \displaystyle\int_0^{\infty} x^{n-\frac{1}{2}}e^{-ax-\frac{b}{x}}dx=(-1)^n \sqrt{π} \cdot \frac{\partial^n}{\partial a^n}\left(a^{-\frac{1}{2}}e^{-2\sqrt{ab}}\right)\\
&(3)  \displaystyle\int_0^{\infty} x^{-n-\frac{1}{2}}e^{-ax-\frac{b}{x}}dx=(-1)^n \sqrt{\frac{π}{a}} \cdot \frac{\partial^n}{\partial b^n}\left(e^{-2\sqrt{ab}}\right)\\
\end{alignat}ただし、全て \(a,b \gt 0\)














<証明>

次の定積分の結果を用います。(詳細はこちらです)$$(A)  \displaystyle\int_0^{\infty} e^{-\left(ax+\frac{b}{x}\right)^2} dx=\frac{\sqrtπ}{2a}e^{-4ab}  (a,b \gt 0)$$




\((1)\) \(e\) の指数部分を平方完成します。
\begin{alignat}{2}
-ax-\frac{b}{x}&=-\left(ax+\frac{b}{x}\right)=-\left(ax+2\sqrt{ab}+\frac{b}{x}\right)+2\sqrt{ab}\\
&=-\left(\sqrt{ax}+\sqrt{\frac{b}{x}}\right)^2+2\sqrt{ab}\\
\end{alignat}となるので
\begin{alignat}{2}
\displaystyle\int_0^{\infty} x^{-\frac{1}{2}}e^{-ax-\frac{b}{x}}dx&=\displaystyle\int_0^{\infty} x^{-\frac{1}{2}} e^{-\left(\sqrt{ax}+\sqrt{\frac{b}{x}}\right)^2+2\sqrt{ab}}dx\\
&=e^{2\sqrt{ab}}\displaystyle\int_0^{\infty} x^{-\frac{1}{2}} e^{-\left(\sqrt{ax}+\sqrt{\frac{b}{x}}\right)^2}dx\\
\end{alignat}\(x=t^2\) と置きます。\((dx=2tdt)\)$$=e^{2\sqrt{ab}} \displaystyle\int_0^{\infty} \frac{1}{t}e^{-\left(\sqrt{a}t+\frac{\sqrt{b}}{t}\right)^2} \cdot 2tdt=2e^{2\sqrt{ab}}\displaystyle\int_0^{\infty} e^{-\left(\sqrt{a}t+\frac{\sqrt{b}}{t}\right)^2} dt$$\((A)\) の式を用います。$$=2e^{2\sqrt{ab}} \cdot \frac{\sqrt{π}}{2\sqrt{a}}e^{-4\sqrt{ab}}=\sqrt{\frac{π}{a}} e^{-2\sqrt{ab}}$$以上より$$\displaystyle\int_0^{\infty} x^{-\frac{1}{2}}e^{-ax-\frac{b}{x}}dx=\sqrt{\frac{π}{a}} e^{-2\sqrt{ab}}$$









\((2)\) \((1)\) の式の両辺を \(a\) で \(n\) 回微分します。
\begin{alignat}{2}
\frac{\partial^n}{\partial a^n}\displaystyle\int_0^{\infty} x^{-\frac{1}{2}}e^{-ax-\frac{b}{x}}dx&=\sqrt{π} \cdot \frac{\partial^n}{\partial a^n} \left(a^{-\frac{1}{2}}e^{-2\sqrt{ab}}\right)\\
\displaystyle\int_0^{\infty} x^{-\frac{1}{2}} \cdot (-x)^ne^{-ax-\frac{b}{x}}dx&=\sqrt{π} \cdot \frac{\partial^n}{\partial a^n} \left(a^{-\frac{1}{2}}e^{-2\sqrt{ab}}\right)\\
(-1)^n\displaystyle\int_0^{\infty} x^{n-\frac{1}{2}} e^{-ax-\frac{b}{x}}dx&=\sqrt{π} \cdot \frac{\partial^n}{\partial a^n} \left(a^{-\frac{1}{2}}e^{-2\sqrt{ab}}\right)\\
\end{alignat}以上より$$\displaystyle\int_0^{\infty} x^{n-\frac{1}{2}}e^{-ax-\frac{b}{x}}dx=(-1)^n \sqrt{π} \cdot \frac{\partial^n}{\partial a^n}\left(a^{-\frac{1}{2}}e^{-2\sqrt{ab}}\right)$$









\((3)\) \((1)\) の式の両辺を \(b\) で \(n\) 回微分します。
\begin{alignat}{2}
\frac{\partial^n}{\partial b^n}\displaystyle\int_0^{\infty} x^{-\frac{1}{2}}e^{-ax-\frac{b}{x}}dx&=\sqrt{\frac{π}{a}} \cdot \frac{\partial^n}{\partial b^n} \left(e^{-2\sqrt{ab}}\right)\\
\displaystyle\int_0^{\infty} x^{-\frac{1}{2}} \cdot \left(-\frac{1}{x}\right)^ne^{-ax-\frac{b}{x}}dx&=\sqrt{\frac{π}{a}} \cdot \frac{\partial^n}{\partial b^n} \left(e^{-2\sqrt{ab}}\right)\\
(-1)^n\displaystyle\int_0^{\infty} x^{-n-\frac{1}{2}} e^{-ax-\frac{b}{x}}dx&=\sqrt{\frac{π}{a}} \cdot \frac{\partial^n}{\partial b^n} \left(e^{-2\sqrt{ab}}\right)\\
\end{alignat}以上より$$\displaystyle\int_0^{\infty} x^{-n-\frac{1}{2}}e^{-ax-\frac{b}{x}}dx=(-1)^n \sqrt{\frac{π}{a}} \cdot \frac{\partial^n}{\partial b^n}\left(e^{-2\sqrt{ab}}\right)$$



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