x^{μ-1}(1-x^r)^{v-1}logx[0,1]などの定積分

\begin{alignat}{2}
&(1) \displaystyle\int_0^1 x^{μ-1}(1-x^r)^{v-1}\log xdx\\
&=\frac{1}{r^2}B\left(\frac{μ}{r},v\right)\left\{ψ\left(\frac{μ}{r}\right)-ψ\left(\frac{μ}{r}+r\right)\right\}\\
&\\
&(2) \displaystyle\int_u^{\infty} \frac{(x-u)^{μ-1}\log x}{x^v}dx\\
&=u^{μ-v}B(μ,v-μ)\{\log u -ψ(v-μ)+ψ(v)\}  (v \gt μ)\\
&\\
&(3) \displaystyle\int_0^1 \frac{x^{μ-1}\log x}{\sqrt[n]{(1-x^n)^{n-m}}}dx\\
&=\frac{1}{n^2}B\left(\frac{μ}{n},\frac{m}{n}\right)\left\{ψ\left(\frac{μ}{n}\right)-ψ\left(\frac{μ+m}{n}\right)\right\}
\end{alignat}ただし、全て \( r,μ,v \gt 0\)









<証明>

\((1)\) 次の定積分を \(I(μ)\) と置きます。$$I(μ)=\displaystyle\int_0^1 x^{μ-1}(1-x^r)^{v-1} dx $$\(I(μ)\) を \(μ\) で微分します。$$I’(μ)=\displaystyle\int_0^1 x^{μ-1}(1-x^r)^{v-1}\log xdx$$となるので \(I’(μ)\) を求めます。

\(x^r=t\) と置きます。\((rx^{r-1}dx=dt)\)
\begin{alignat}{2}
&I(μ)=\displaystyle\int_0^1 x^{μ-1}(1-x^r)^{v-1} dx=\displaystyle\int_0^1 t^{\frac{μ-1}{r}}(1-t)^{v-1} \cdot \frac{1}{rt^{\frac{r-1}{r}}}dt\\
&   =\frac{1}{r}\displaystyle\int_0^1 t^{\frac{μ}{r}-1}(1-t)^{v-1}dt=\frac{1}{r}B\left(\frac{μ}{r},v\right)\\
&   =\frac{1}{r} \cdot \frac{Γ\left(\frac{μ}{r}\right)Γ(v)}{Γ\left(\frac{μ}{r}+v\right)}=\frac{Γ(v)}{r} \cdot \frac{Γ\left(\frac{μ}{r}\right)}{Γ\left(\frac{μ}{r}+v\right)}\\
\end{alignat}\(I(μ)\) を \(μ\) で微分します。
\begin{alignat}{2}
&I’(μ)=\frac{Γ(v)}{r} \cdot \frac{\frac{1}{r}Γ’\left(\frac{μ}{r}\right)Γ\left(\frac{μ}{r}+v\right)-Γ\left(\frac{μ}{r}\right) \cdot \frac{1}{r}Γ’\left(\frac{μ}{r}+v\right)}{\left\{Γ\left(\frac{μ}{r}+v\right)\right\}^2}\\
&    =\frac{1}{r^2} \cdot \frac{Γ\left(\frac{μ}{r}\right)Γ(v)}{Γ\left(\frac{μ}{r}+v\right)}\left\{\frac{Γ’\left(\frac{μ}{r}\right)}{Γ\left(\frac{μ}{r}\right)}-\frac{Γ’\left(\frac{μ}{r}+v\right)}{Γ\left(\frac{μ}{r}+v\right)}\right\}\\
&    =\frac{1}{r^2}B\left(\frac{μ}{r},v\right)\left\{ψ\left(\frac{μ}{r}\right)-ψ\left(\frac{μ}{r}+r\right)\right\}
\end{alignat}以上より$$\displaystyle\int_0^1 x^{μ-1}(1-x^r)^{v-1}\log xdx=\frac{1}{r^2}B\left(\frac{μ}{r},v\right)\left\{ψ\left(\frac{μ}{r}\right)-ψ\left(\frac{μ}{r}+r\right)\right\}$$







\((2)\) 次の定積分を \(I(v)\) と置きます。$$I(v)=\displaystyle\int_u^{\infty} \frac{(x-u)^{μ-1}}{x^v}dx $$\(I(v)\) を \(v\) で微分します。$$I’(v)=-\displaystyle\int_u^{\infty} \frac{(x-u)^{μ-1}\log x}{x^v}dx$$となるので \(I’(v)\) を求めます。

\(x-u=t\) と置きます。\((dx=dt)\)$$I(v)=\displaystyle\int_u^{\infty} \frac{(x-u)^{μ-1}}{x^v}dx=\displaystyle\int_0^{\infty} \frac{t^{μ-1}}{(t+u)^v}dt$$\(t=us\) と置きます。\((dt=uds)\)
\begin{alignat}{2}
&=\displaystyle\int_0^{\infty} \frac{(us)^{μ-1}}{(us+u)^v} \cdot uds=u^{μ-v} \displaystyle\int_0^{\infty} \frac{s^{μ-1}}{(1+s)^v}ds\\
&=u^{μ-v}B(μ,v-μ)=u^{μ-v} \cdot \frac{Γ(μ)Γ(v-μ)}{Γ(v)}=u^μΓ(μ)\cdot \frac{u^{-v}Γ(v-μ)}{Γ(v)}\\
\end{alignat}\(I(v)\) を \(v\) で微分します。
\begin{alignat}{2}
&=u^{μ-v}Γ(μ) \cdot \frac{\{-(\log u)u^{-v}Γ(v-μ)+u^{-v}Γ’(v-μ)\}Γ(v)-u^{-v}Γ(v-μ)Γ’(v)}{\{Γ(v)\}^2}\\
&=-u^{μ-v}Γ(μ) \cdot \frac{(\log u)Γ(v-u)Γ(v)-Γ’(v-μ)Γ(v)+Γ(v-μ)Γ’(v)}{\{Γ(v)\}^2}\\
&=-u^{μ-v} \cdot \frac{Γ(μ)Γ(v-μ)}{Γ(v)}\left\{\log u -\frac{Γ’(v-μ)}{Γ(v-μ)}+\frac{Γ’(v)}{Γ(v)}\right\}\\
&=-u^{μ-v}B(μ,v-μ)\{\log u -ψ(v-μ)+ψ(v)\}\\
\end{alignat}以上より$$\displaystyle\int_u^{\infty} \frac{(x-u)^{μ-1}\log x}{x^v}dx=u^{μ-v}B(μ,v-μ)\{\log u -ψ(v-μ)+ψ(v)\}$$







\((3)\) 次の定積分を \(I(μ)\) と置きます。$$I(μ)=\displaystyle\int_0^1 \frac{x^{μ-1}}{\sqrt[n]{(1-x^n)^{n-m}}}dx$$\(I(μ)\) を \(μ\) で微分します。$$I’(μ)=\displaystyle\int_0^1 \frac{x^{μ-1}\log x}{\sqrt[n]{(1-x^n)^{n-m}}}dx$$となるので \(I’(μ)\) を求めます。

\(x^n=t\) と置きます。\((nx^{n-1}dx=dt)\)
\begin{alignat}{2}
&I(μ)=\displaystyle\int_0^1 \frac{x^{μ-1}}{\sqrt[n]{(1-x^n)^{n-m}}}dx=\displaystyle\int_0^1 x^{μ-1}(1-x^n)^{\frac{m}{n}-1}dx\\
&   =\displaystyle\int_0^1 t^{\frac{μ-1}{n}}(1-t)^{\frac{m}{n}-1} \cdot \frac{1}{nt^{\frac{n-1}{n}}}dt=\frac{1}{n}\displaystyle\int_0^1 t^{\frac{μ}{n}-1}(1-t)^{\frac{m}{n}-1}dt\\
&   =\frac{1}{n}B\left(\frac{μ}{n},\frac{m}{n}\right)=\frac{1}{n} \cdot \frac{Γ\left(\frac{μ}{n}\right)Γ\left(\frac{m}{n}\right)}{Γ\left(\frac{μ+m}{n}\right)}=\frac{Γ\left(\frac{m}{n}\right)}{n}\cdot \frac{Γ\left(\frac{μ}{n}\right)}{Γ\left(\frac{μ+m}{n}\right)}\\
\end{alignat}\(I(μ)\) を \(μ\) で微分します。
\begin{alignat}{2}
&I’(μ)=\frac{Γ\left(\frac{m}{n}\right)}{n} \cdot \frac{\frac{1}{n}Γ’\left(\frac{μ}{n}\right)Γ\left(\frac{μ+m}{n}\right)\frac{1}{n}Γ\left(\frac{μ}{n}\right)Γ’\left(\frac{μ+m}{n}\right)}{\left\{Γ\left(\frac{μ+m}{n}\right)\right\}^2}\\
&   =\frac{1}{n^2}\cdot \frac{Γ\left(\frac{μ}{n}\right)Γ\left(\frac{m}{n}\right)}{Γ\left(\frac{μ+m}{n}\right)} \left\{\frac{Γ’\left(\frac{μ}{n}\right)}{Γ\left(\frac{μ}{n}\right)}-\frac{Γ’\left(\frac{μ+m}{n}\right)}{Γ\left(\frac{μ+m}{n}\right)}\right\}\\
&   =\frac{1}{n^2}B\left(\frac{μ}{n},\frac{m}{n}\right)\left\{ψ\left(\frac{μ}{n}\right)-ψ\left(\frac{μ+m}{n}\right)\right\}
\end{alignat}以上より$$\displaystyle\int_0^1 \frac{x^{μ-1}\log x}{\sqrt[n]{(1-x^n)^{n-m}}}dx=\frac{1}{n^2}B\left(\frac{μ}{n},\frac{m}{n}\right)\left\{ψ\left(\frac{μ}{n}\right)-ψ\left(\frac{μ+m}{n}\right)\right\}$$

コメントを残す

メールアドレスが公開されることはありません。 * が付いている欄は必須項目です