x^{μ-1}logx/(a+x)[0,∞]などの定積分

\begin{alignat}{2}
&(1) \displaystyle\int_0^{\infty} \frac{x^{μ-1}\log x}{a+x}dx=\frac{πa^{μ-1}}{\sin μπ}(\log a -π\cot μπ)\\
&(2) \displaystyle\int_0^{\infty} \frac{x^{μ-1}\log x}{a-x}dx=πa^{μ-1}\left\{(\log a)\cot μπ -\frac{π}{\sin^2 μπ}\right\}\\
\end{alignat}ただし、全て \(a \gt 0,0 \lt μ \lt 1\)







<証明>

\((1)\) 次の積分を \(I(p)\) と置きます。$$I(p)=\displaystyle\int_0^{\infty} \frac{x^{p+μ-1}}{a+x}dx$$\(I(p)\) を \(p\) で微分します。$$I’(p)=\displaystyle\int_0^{\infty} \frac{(\log x)x^{p+μ-1}}{a+x}dx$$\(p=0\) のとき$$I’(0)=\displaystyle\int_0^{\infty} \frac{x^{μ-1}\log x}{a+x}dx$$となり、求める積分となります。よって \(I’(0)\) を求めます。

\(I(p)\) の式において \(x=at\) と置きます。\((dx=adt)\)
\begin{alignat}{2}
&I(p)=\displaystyle\int_0^{\infty} \frac{x^{p+μ-1}}{a+x}dx=\displaystyle\int_0^{\infty} \frac{(at)^{p+μ-1}}{a+at} \cdot adt=a^{p+μ-1}\displaystyle\int_0^{\infty} \frac{t^{p+μ-1}}{1+t}dt\\
&   =a^{p+μ-1} \cdot \frac{π}{\sin(p+μ)π}=πa^{μ-1} \cdot \frac{a^p}{\sin(p+μ)π}
\end{alignat}\(I(p)\) を \(p\) で微分します。$$I’(p)=πa^{μ-1} \cdot \frac{(\log a)a^p \sin (p+μ)π-a^p \cdot π \cos (p+μ)π}{\sin^2 (p+μ)π}$$\(p=0\) のとき$$I’(0)=πa^{μ-1} \cdot \frac{(\log a) \sin μπ -π\cot μπ}{\sin^2 μπ}$$以上より$$\displaystyle\int_0^{\infty} \frac{x^{μ-1}\log x}{a+x}dx=\frac{πa^{μ-1}}{\sin μπ}(\log a -π\cot μπ)$$







\((1)\) 次の積分を \(I(p)\) と置きます。$$I(p)=\displaystyle\int_0^{\infty} \frac{x^{p+μ-1}}{a-x}dx$$\(I(p)\) を \(p\) で微分します。$$I’(p)=\displaystyle\int_0^{\infty} \frac{(\log x)x^{p+μ-1}}{a-x}dx$$\(p=0\) のとき$$I’(0)\displaystyle\int_0^{\infty} \frac{x^{μ-1}\log x}{a-x}dx$$となり、求める積分となります。よって \(I’(0)\) を求めます。

\(I(p)\) の式において \(x=at\) と置きます。\((dx=adt)\)
\begin{alignat}{2}
&I(p)=\displaystyle\int_0^{\infty} \frac{x^{p+μ-1}}{a-x}dx=\displaystyle\int_0^{\infty} \frac{(at)^{p+μ-1}}{a-at} \cdot adt=a^{p+μ-1}\displaystyle\int_0^{\infty} \frac{t^{p+μ-1}}{1-t}dt\\
&   =a^{p+μ-1}\cdot π \cot (p+μ)π=πa^{μ-1} \cdot a^p\cot (p+μ)π
\end{alignat}\(I(p)\) を \(p\) で微分します。$$I’(p)=πa^{μ-1} \left[ (\log a)a^p \cot (p+μ)π-a^p \left\{-\frac{π}{\sin^2 (p+μ)π}\right\}\right]$$\(p=0\) のとき$$I’(0)=πa^{μ-1}\left\{(\log a)\cot μπ -\frac{π}{\sin^2 μπ}\right\}$$以上より$$\displaystyle\int_0^{\infty} \frac{x^{μ-1}\log x}{a-x}dx=πa^{μ-1}\left\{(\log a)\cot μπ -\frac{π}{\sin^2 μπ}\right\}$$


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