(x^{μ-1}+x^{-μ})/(1+x)[0,1]などの定積分

\begin{alignat}{2}
&(1)  \displaystyle\int_0^1 \frac{x^{μ-1}-x^{-μ}}{1-x}dx=π\cot μπ\\
&(2)  \displaystyle\int_0^1 \frac{x^{μ-1}+x^{-μ}}{1+x}dx=π\csc μπ\\
&(3)  \displaystyle\int_0^1 \frac{x^{μ}-x^{-μ}}{1-x}dx=-\frac{1}{μ}+π\cot μπ\\
&(4)  \displaystyle\int_0^1 \frac{x^{μ}-x^{-μ}}{1+x}dx=\frac{1}{μ}-π\csc μπ\\
&(5)  \displaystyle\int_0^1 \frac{x^{μ-1}-x^{v-1}}{1-x}dx=ψ(v)-ψ(μ)\\
&(6)  \displaystyle\int_0^1 \frac{x^{μ-1}-x^{v-1}}{1-x}dx=π(\cot μπ-\cot vπ)\\
\end{alignat}ただし、全て \(μ,v \gt 0\)







<証明>

\((1)(3)(5)(6)\) についてはディガンマ関数の公式で、直ちに得られます。(詳細はこちらです)

$$(1)  \displaystyle\int_0^1 \frac{x^{μ-1}-x^{-μ}}{1-x}dx=ψ(1-μ)-ψ(μ)=π\cot μπ$$

\begin{alignat}{2}
(3)  \displaystyle\int_0^1 \frac{x^{μ}-x^{-μ}}{1-x}dx&=ψ(1-μ)-ψ(μ+1)\\
&=ψ(1-μ)-\frac{1}{μ}-ψ(μ)\\
&=-\frac{1}{μ}+π\cot μπ\\
\end{alignat}

$$(5)  \displaystyle\int_0^1 \frac{x^{μ-1}-x^{v-1}}{1-x}dx=ψ(v)-ψ(μ)$$


\begin{alignat}{2}
(6)  \displaystyle\int_0^1 \frac{x^{μ-1}-x^{v-1}}{1-x}dx&=π\cot μπ-π\cot vπ\\
&=π(\cot μπ-\cot vπ)\\
\end{alignat}







\begin{alignat}{2}
(2)  \displaystyle\int_0^1 \frac{x^{μ-1}+x^{-μ}}{1+x}dx&=\displaystyle\int_0^1 \frac{(1-x)(x^{μ-1}+x^{-μ})}{(1-x)(1+x)}dx\\
&=\displaystyle\int_0^1 \frac{x^{μ-1}+x^{-μ}-x^μ-x^{-μ+1}}{1-x^2}dx\\
\end{alignat}\(x^2=t\) と置きます。\((2dx=dt)\)
\begin{alignat}{2}
&=\displaystyle\int_0^1 \frac{t^{\frac{μ-1}{2}}+t^{-\frac{μ}{2}}-t^{\frac{μ}{2}}-t^{\frac{-μ+1}{2}}}{1-t} \cdot \frac{1}{2t^{\frac{1}{2}}}dt\\
&=\frac{1}{2}\displaystyle\int_0^1 \frac{t^{\frac{μ}{2}-1}+t^{-\frac{μ}{2}-\frac{1}{2}}-t^{\frac{μ}{2}-\frac{1}{2}}-t^{-\frac{μ}{2}}}{1-t}dt\\
&=\frac{1}{2} \left\{ψ\left(\frac{1}{2}+\frac{μ}{2}\right)-ψ\left(\frac{1}{2}-\frac{μ}{2}\right)+ψ\left(1-\frac{μ}{2}\right)-ψ\left(\frac{μ}{2}\right)\right\}\\
&=\frac{1}{2}\left(π\tan \frac{μπ}{2}+π\cot μπ\right)=\frac{π}{2}\left(\frac{\sin \frac{μπ}{2}}{\cos \frac{μπ}{2}}+\frac{\cos \frac{μπ}{2}}{\sin \frac{μπ}{2}}\right)\\
&=π\cdot \frac{\sin^2 \frac{μπ}{2}+\cos^2 \frac{μπ}{2}}{2\sin \frac{μπ}{2}\cos \frac{μπ}{2}}=\frac{π}{\sin μπ}=π\csc μπ\\
\end{alignat}以上より$$\displaystyle\int_0^1 \frac{x^{μ-1}+x^{-μ}}{1+x}dx=π\csc μπ$$







\begin{alignat}{2}
(4)  \displaystyle\int_0^1 \frac{x^{μ}-x^{-μ}}{1+x}dx&=\displaystyle\int_0^1 \frac{(1-x)(x^{μ}-x^{-μ})}{(1-x)(1+x)}dx\\
&=\displaystyle\int_0^1 \frac{x^{μ}-x^{-μ}-x^{μ+1}+x^{-μ+1}}{1-x^2}dx\\
\end{alignat}\(x^2=t\) と置きます。\((2dx=dt)\)
\begin{alignat}{2}
&=\displaystyle\int_0^1 \frac{t^{\frac{μ}{2}}-t^{-\frac{μ}{2}}-t^{\frac{μ+1}{2}}+t^{\frac{-μ+1}{2}}}{1-t} \cdot \frac{1}{2t^{\frac{1}{2}}}dt\\
&=\frac{1}{2}\displaystyle\int_0^1 \frac{t^{\frac{μ}{2}-\frac{1}{2}}+t^{-\frac{μ}{2}-\frac{1}{2}}-t^{\frac{μ}{2}}-t^{-\frac{μ}{2}}}{1-t}dt\\
&=\frac{1}{2} \left\{ψ\left(\frac{1}{2}-\frac{μ}{2}\right)-ψ\left(\frac{1}{2}+\frac{μ}{2}\right)+ψ\left(\frac{μ}{2}+1\right)-ψ\left(1-\frac{μ}{2}\right)\right\}\\
&=\frac{1}{2}\left\{-π\tan \frac{μπ}{2}+\frac{2}{μ}+ψ\left(\frac{μ}{2}\right)-ψ\left(1-\frac{μ}{2}\right)\right\}\\
&=\frac{1}{μ}-\frac{1}{2}\left(π\tan \frac{μπ}{2}+π\cot \frac{μπ}{2}\right)=\frac{1}{μ}-π\csc μπ
\end{alignat}以上より$$\displaystyle\int_0^1 \frac{x^{μ}-x^{-μ}}{1+x}dx=\frac{1}{μ}-π\csc μπ$$



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