x/(1+x^2)sinh(πx/2)[0,∞]などの定積分

\begin{alignat}{2}
&(1) \displaystyle\int_0^{\infty} \frac{x}{(1+x^2)\sinh πx}dx=\log 2-\frac{1}{2}\\
&(2) \displaystyle\int_0^{\infty} \frac{1}{(1+x^2)\cosh πx}dx=2-\frac{π}{2}\\
&(3) \displaystyle\int_0^{\infty} \frac{x}{(1+x^2)\sinh \frac{πx}{2}}dx=\frac{π}{2}-1\\
&(4) \displaystyle\int_0^{\infty} \frac{1}{(1+x^2)\cosh \frac{πx}{2}}dx=\log 2\\
\end{alignat}







<証明>

次の定積分の結果を用います。(詳細はこちらです。)
\begin{alignat}{2}
&(A) \displaystyle\int_0^{\infty} \frac{x}{(b^2+x^2)\sinh ax}dx=\frac{π}{2ab}+π\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^n}{ab+nπ}\\
&(B) \displaystyle\int_0^{\infty} \frac{1}{(b^2+x^2)\cosh ax}dx=\frac{2π}{b}\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^{n-1}}{2ab+(2n-1)π}\\
\end{alignat}ただし、全て \(a,b \gt 0\)



\((1)\) \((A)\) において \(\displaystyle a=π,b=1\) とします。
\begin{alignat}{2}
&\displaystyle\int_0^{\infty} \frac{x}{(1+x^2)\sinh πx}dx=\frac{1}{2}+π\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^n}{π+nπ}=\frac{1}{2}+\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^n}{n+1}\\
&                    =\frac{1}{2}+(-1+\log 2)=\log 2-\frac{1}{2}
\end{alignat}以上より$$\displaystyle\int_0^{\infty} \frac{x}{(1+x^2)\sinh πx}dx=\log 2-\frac{1}{2}$$









\((2)\) \((B)\) において \(\displaystyle a=π,b=1\) とします。
\begin{alignat}{2}
&\displaystyle\int_0^{\infty} \frac{1}{(1+x^2)\cosh πx}dx=2π\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^{n-1}}{2π+(2n-1)π} =2\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^{n-1}}{2n+1}\\
&                    =2\left\{1-\displaystyle\sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^{n}}{2n+1}\right\}=2\left(1-\frac{π}{4}\right)=2-\frac{π}{2}\\
\end{alignat}以上より$$\displaystyle\int_0^{\infty} \frac{1}{(1+x^2)\cosh πx}dx=2-\frac{π}{2}$$








\((3)\) \((A)\) において \(\displaystyle a=\frac{π}{2},b=1\) とします。
\begin{alignat}{2}
&\displaystyle\int_0^{\infty} \frac{x}{(1+x^2)\sinh \frac{πx}{2}}dx=1+π\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^n}{\frac{π}{2}+nπ}=1+2 \displaystyle\sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^n}{2n+1}\\
&                    =1+2\left\{-1+\displaystyle\sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^n}{2n+1}\right\}\\
&                    =1+2\left(-1+\frac{π}{4}\right)=\frac{π}{2}-1\\
\end{alignat}以上より$$\displaystyle\int_0^{\infty} \frac{x}{(1+x^2)\sinh \frac{πx}{2}}dx=\frac{π}{2}-1$$







\((4)\) \((B)\) において \(\displaystyle a=\frac{π}{2},b=1\) とします。
\begin{alignat}{2}
&\displaystyle\int_0^{\infty} \frac{1}{(1+x^2)\cosh \frac{πx}{2}}dx=2π\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^{n-1}}{π+(2n-1)π}\\
&                    =2\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^{n-1}}{2n}=\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^{n-1}}{n}=\log 2\\
\end{alignat}以上より$$\displaystyle\int_0^{\infty} \frac{1}{(1+x^2)\cosh \frac{πx}{2}}dx=\log 2$$

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