x/(1+x^2)sinh(πx/4)[0,∞]などの定積分

\begin{alignat}{2}
&(1)  \displaystyle\int_0^{\infty} \frac{x}{(1+x^2)\sinh \frac{πx}{4}}dx=\frac{1}{\sqrt{2}}\{π+2 \log (\sqrt{2}+1)\}-2\\
&(2)  \displaystyle\int_0^{\infty} \frac{1}{(1+x^2)\cosh \frac{πx}{4}}dx=\frac{1}{\sqrt{2}}\{π-2 \log (\sqrt{2}+1)\}\\
\end{alignat}








<証明>

次の定積分の結果を用います。(詳細はこちらです)
\begin{alignat}{2}
&(A)  \displaystyle\int_0^{\infty} \frac{x}{(b^2+x^2)\sinh ax}dx=\frac{π}{2ab}+π\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^n}{ab+nπ}\\
&(B)  \displaystyle\int_0^{\infty} \frac{1}{(b^2+x^2)\cosh ax}dx=\frac{2π}{b}\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^{n-1}}{2ab+(2n-1)π}\\
\end{alignat}ただし、全て \(a,b \gt 0\)

次の級数等式を用います。(詳細はこちらです)
\begin{alignat}{2}
&(C)  \displaystyle\sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^n}{4n+1}=\frac{π+2 \coth^{-1}\sqrt{2}}{4\sqrt{2}}\\
&(D)  \displaystyle\sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^n}{4n+3}=\frac{π-2 \coth^{-1}\sqrt{2}}{4\sqrt{2}}\\
\end{alignat}










\((1)\) \((A)\) の式で \(\displaystyle a=\frac{π}{4}, b=1\) とします。
\begin{alignat}{2}
&\displaystyle\int_0^{\infty} \frac{x}{(1+x^2)\sinh \frac{πx}{4}}dx=\frac{π}{2}\cdot \frac{4}{π}+π\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^n}{\frac{π}{4}+nπ}\\
&                    =2+4\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^n}{4n+1}=-2+4\displaystyle\sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^n}{4n+1}\\
\end{alignat}\((C)\) の式を代入します。
\begin{alignat}{2}
&=-2+4 \cdot \frac{π+2 \coth^{-1}\sqrt{2}}{4\sqrt{2}}=-2+\frac{π+2 \log (\sqrt{2}+1)}{\sqrt{2}}\\
&=\frac{1}{\sqrt{2}}\{π+2 \log (\sqrt{2}+1)\}-2
\end{alignat}以上より$$\displaystyle\int_0^{\infty} \frac{x}{(1+x^2)\sinh \frac{πx}{4}}dx=\frac{1}{\sqrt{2}}\{π+2 \log (\sqrt{2}+1)\}-2$$






\((2)\) \((B)\) の式で \(\displaystyle a=\frac{π}{4}, b=1\) とします。
\begin{alignat}{2}
&\displaystyle\int_0^{\infty} \frac{1}{(1+x^2)\cosh \frac{πx}{4}}dx=2π\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^{n-1}}{\frac{π}{2}+(2n-1)π}\\
&                    =4\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^{n-1}}{1+2(2n-1)}=4\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^{n-1}}{4n-1}=4\displaystyle\sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^{n}}{4n+3}\\
\end{alignat}\((D)\) の式を代入します。$$=4 \cdot \frac{π-2 \coth^{-1}\sqrt{2}}{4\sqrt{2}}=\frac{π-2 \log (\sqrt{2}+1)}{\sqrt{2}}$$
以上より$$\displaystyle\int_0^{\infty} \frac{1}{(1+x^2)\cosh \frac{πx}{4}}dx=\frac{1}{\sqrt{2}}\{π-2 \log (\sqrt{2}+1)\}$$

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