x/(a^2e^x+b^2e^{-x})[-∞,∞]などの定積分

\begin{alignat}{2}
&(1) \displaystyle\int_{-\infty}^{\infty} \frac{x}{a^2e^x+b^2e^{-x}}dx=\frac{π}{2ab}\log \frac{b}{a}\\
&(2) \displaystyle\int_{-\infty}^{\infty} \frac{x}{a^2e^x-b^2e^{-x}}dx=\frac{π^2}{4ab}\\
\end{alignat}ただし、全て \(a.b \gt 0\)









<証明>

次の定積分を予め計算しておきます。[(A)の詳細はこちらです。]
\begin{alignat}{2}
&(A) \displaystyle\int_0^{\infty} \frac{ \log x}{x^2+1}dx=0\\
&(B) \displaystyle\int_0^{\infty} \frac{1}{x^2-1}dx=0\\
&(C) \displaystyle\int_0^{\infty} \frac{\log x}{x^2-1}dx=\frac{π^2}{4}\\
\end{alignat}



$$(B) \displaystyle\int_0^{\infty} \frac{1}{x^2-1}dx=\left[\frac{1}{2}\log \left|\frac{x-1}{x+1}\right|\right]_0^{\infty}=0$$
\((C)\) 次の定積分を \(I(a)\) と置きます。$$I(a)=\displaystyle\int_0^{\infty} \frac{x^a}{x^2-1}dx$$\(I(a)\) を \(a\) で微分します。$$I’(a)=\displaystyle\int_0^{\infty} \frac{(\log x)x^a}{x^2-1}dx$$\(a=0\) とすると$$I’(0)=\displaystyle\int_0^{\infty} \frac{\log x}{x^2-1}dx$$となるので \(I’(0)\) を求めます。

\(x^2=t\) と置きます。\((2xdx=dt)\)
\begin{alignat}{2}
&I(a)=\displaystyle\int_0^{\infty} \frac{x^a}{x^2-1}dx=\displaystyle\int_0^{\infty} \frac{t^{\frac{a}{2}}}{t-1} \cdot \frac{1}{2\sqrt{t}}dt\\
&   =-\frac{1}{2}\displaystyle\int_0^{\infty} \frac{t^{\frac{a}{2}-\frac{1}{2}}}{1-t}dt=-\frac{π}{2}\cot \left(\frac{a+1}{2}\right)π\\
\end{alignat}\(I(a)\) を \(a\) で微分します。$$I’(a)=\frac{π^2}{4} \cdot \frac{1}{\sin^2 \left(\frac{a+1}{2}\right)π}$$\(a=0\) のとき$$I’(0)=\frac{π^2}{4} \cdot \frac{1}{\sin^2 \frac{π}{2}}=\frac{π^2}{4}$$以上より$$\displaystyle\int_0^{\infty} \frac{\log x}{x^2-1}dx=\frac{π^2}{4}$$







\((1)\) \(e^x=t\) と置きます。\(\displaystyle \left(x=\log t, dx=\frac{1}{t}dt\right)\) $$\displaystyle\int_{-\infty}^{\infty} \frac{x}{a^2e^x+b^2e^{-x}}dx=\displaystyle\int_0^{\infty} \frac{\log t}{a^2t+b^2t^{-1}} \cdot \frac{1}{t}dt=\displaystyle\int_0^{\infty} \frac{\log t}{a^2t^2+b^2}dt$$\(\displaystyle t=\frac{b}{a}s\) と置きます。\(\displaystyle \left(dt=\frac{b}{a}ds\right)\)
\begin{alignat}{2}
&=\displaystyle\int_0^{\infty} \frac{\log \left(\frac{b}{a}s\right)}{b^2s^2+b^2} \cdot \frac{b}{a}ds=\frac{1}{ab}\displaystyle\int_0^{\infty} \frac{\log \left(\frac{b}{a}s\right)}{s^2+1}ds\\
&=\frac{1}{ab}\left(\log \frac{b}{a}\displaystyle\int_0^{\infty} \frac{1}{s^2+1}ds+\displaystyle\int_0^{\infty} \frac{\log s}{s^2+1}ds\right)\\
&=\frac{1}{ab}\left(\log \frac{b}{a}\right) \cdot \frac{π}{2}=\frac{π}{2ab}\log \frac{b}{a}
\end{alignat}以上より$$\displaystyle\int_{-\infty}^{\infty} \frac{x}{a^2e^x+b^2e^{-x}}dx=\frac{π}{2ab}\log \frac{b}{a}$$







\((2)\) \((1)\) と同様に計算を行います。
\begin{alignat}{2}
&\displaystyle\int_{-\infty}^{\infty} \frac{x}{a^2e^x-b^2e^{-x}}dx=\frac{1}{ab}\left(\log \frac{b}{a}\displaystyle\int_0^{\infty} \frac{1}{s^2-1}ds+\displaystyle\int_0^{\infty} \frac{\log s}{s^2-1}ds\right)\\
&                  =\frac{1}{ab}\displaystyle\int_0^{\infty} \frac{\log s}{s^2-1}ds=\frac{1}{ab} \cdot \frac{π^2}{4}=\frac{π^2}{4ab}
\end{alignat}以上より$$\displaystyle\int_{-\infty}^{\infty} \frac{x}{a^2e^x-b^2e^{-x}}dx=\frac{π^2}{4ab}$$

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