(x-a)^{μ-1}(b-x)^{v-1}(x-c)^{-μ-v}[a,b]などの定積分

\begin{alignat}{2}
&(1)  \displaystyle\int_0^1 x^{μ-1}(1-x)^{v-1}\{ax+b(1-x)+c\}^{-(μ+v)}dx  (a,b,c,μ,v \gt 0)\\
&=(a+c)^{-μ}(b+c)^{-v}B(μ,v)\\
&(2)  \displaystyle\int_a^b (x-a)^{μ-1}(b-x)^{v-1}(x-c)^{-μ-v}dx  (μ,v \gt 0,\,c \lt a \lt b)\\
&=(a+c)^{-μ}(b+c)^{-v}B(μ,v)\\
\end{alignat}









<証明>

\begin{alignat}{2}
&(1)  \displaystyle\int_0^1 x^{μ-1}(1-x)^{v-1}\{ax+b(1-x)+c\}^{-(μ+v)}dx\\
&=\displaystyle\int_0^1 x^{μ-1}(1-x)^{v-1}\{b+c+(a-b)x\}^{-(μ+v)}dx\\
&=(b+c)^{-μ-v} \displaystyle\int_0^1 x^{μ-1}(1-x)^{v-1} \left(1+\frac{a-b}{b+c}x\right)^{-μ-v}dx  \cdots (A)\\
\end{alignat}\(\displaystyle \left(1+\frac{a-b}{b+c}x\right)^{-μ-v}\) を級数で表します。
\begin{alignat}{2}
&=(b+c)^{-μ-v} \displaystyle\int_0^1 x^{μ-1}(1-x)^{v-1} \left\{\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-μ-v)(-μ-v-1) \cdots (-μ-v-n+1)}{n!} \cdot \left(\frac{a-b}{a+c}x\right)^n\right\}dx\\
&=(b+c)^{-μ-v}\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty} \frac{(μ+v)(μ+v+1) \cdots (μ+v+n-1)}{n!}\cdot \left(-\frac{a-b}{a+c}x\right)^n\displaystyle\int_0^1 x^{μ+n-1}(1-x)^{v-1}dx\\
&=(b+c)^{-μ-v}\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty} \frac{(μ+v)(μ+v+1) \cdots (μ+v+n-1)}{n!}\cdot \left(-\frac{a-b}{a+c}x\right)^n B(μ+n,v)\\
&=(b+c)^{-μ-v}\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty} \frac{(μ+v)(μ+v+1) \cdots (μ+v+n-1)}{n!}\cdot \left(-\frac{a-b}{a+c}x\right)^n \cdot \frac{μ+n-1}{μ+v+n-1} \cdot \frac{μ+n-2}{μ+v+n-2} \cdots \frac{μ+1}{μ+v+1} \cdot \frac{μ}{μ+v}B(μ,v)\\
&=(b+c)^{-μ-v}\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty} \frac{-μ(-μ-1) \cdots (-μ-n+1)}{n!}\cdot \left(\frac{a-b}{a+c}x\right)^n B(μ,v)\\
&=(b+c)^{-μ-v}\left(1-\frac{a-b}{b+c}\right)^{-μ}B(μ,v)\\
&=(b+c)^{-μ-v}\left(\frac{a+c}{b+c}\right)^{-μ}B(μ,v)=(a+c)^{-μ}(b+c)^{-v}B(μ,v)\\
\end{alignat}以上より$$\displaystyle\int_0^1 x^{μ-1}(1-x)^{v-1}\{ax+b(1-x)+c\}^{-(μ+v)}dx=(a+c)^{-μ}(b+c)^{-v}B(μ,v)  (a,b,c,μ,v \gt 0)$$








\((2)\) \(x-a=t\) と置きます。\((dx=dt)\)$$\displaystyle\int_a^b (x-a)^{μ-1}(b-x)^{v-1}(x-c)^{-μ-v}dx=\displaystyle\int_0^{b-a} t^{μ-1}(b-a-t)^{v-1}(t+a-c)^{-μ-v}dt$$\(t=(b-a)r\) と置きます。\([dt=(b-a)dr]\)
\begin{alignat}{2}
&=\displaystyle\int_0^1 (b-a)^{μ-1}r^{μ-1} \{b-a-(b-a)r\}^{v-1}\{a-c+(b-a)r\}^{-μ-v}\cdot (b-a)dr\\
&=(b-a)^{μ+v-1} \displaystyle\int_0^1 r^{μ-1} (1-r)^{v-1} \{a-c+(b-a)r\}^{-μ-v}dr\\
&=(b-a)^{μ+v-1}(a-c)^{-μ-v} \displaystyle\int_0^1 r^{μ-1} (1-r)^{v-1} \left(1+\frac{b-a}{a-c}\right)^{-μ-v}dr\\
\end{alignat}この積分は \((1)\) の \((A)\) と同じ形をしているので、計算は省略します。(文字を置き換えるだけです)
\begin{alignat}{2}
&=(b-a)^{μ+v-1}(a-c)^{-μ-v}\left(1+\frac{b-a}{a-c}\right)^μB(μ,v)\\
&=(b-a)^{μ+v-1}(a-c)^{-μ-v}\left(\frac{b-c}{a-c}\right)^μB(μ,v)=(a+c)^{-μ}(b+c)^{-v}B(μ,v)\\
\end{alignat}以上より$$\displaystyle\int_a^b (x-a)^{μ-1}(b-x)^{v-1}(x-c)^{-μ-v}dx=(a+c)^{-μ}(b+c)^{-v}B(μ,v)  (μ,v \gt 0,\,c \lt a \lt b)$$

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