x/(coshx)^{μ}[-∞,∞]などの定積分

\begin{alignat}{2}
&(1)  \displaystyle\int_0^π \tan^{-1}(\cos x)dx=0\\
&(2)  \displaystyle\int_0^π x \log (\tan^2 x)dx=0\\
&(3)  \displaystyle\int_{-\infty}^{\infty} x\log (\cosh x)dx=0\\
&(4)  \displaystyle\int_{-\infty}^{\infty} \frac{x}{\cosh^μ x}dx=0\\
&(5)  \displaystyle\int_{-\infty}^{\infty} \frac{x\log \cosh x}{\cosh^μ x}dx=0\\
&(6)  \displaystyle\int_{-\infty}^{\infty} \frac{x(\log \cosh x)^n}{\cosh^μ x}dx=0\\
\end{alignat}ただし、全て \(μ \gt 0,\,n \in\mathrm{N}\)













<証明>

次の定積分の結果を用います。(詳細はこちらです)$$(A)  \displaystyle\int_{-\infty}^{\infty} \frac{x}{(a^2e^x+e^{-x})^μ}dx=-\frac{1}{2a^μ}B\left(\frac{μ}{2},\frac{μ}{2}\right)\log a  (a,μ \gt 0)$$





\((1)\) \(\cos x=t\) と置きます。\((-\sin xdx=dt)\)$$\displaystyle\int_0^π \tan^{-1}(\cos x)dx=\displaystyle\int_1^{-1} \tan^{-1} t \cdot \left(-\frac{1}{\sin x}\right)dt=\displaystyle\int_{-1}^1 \frac{\tan^{-1} t}{\sqrt{1-t^2}}dt$$この積分の被積分関数は奇関数であるので$$=\displaystyle\int_{-1}^1 \frac{\tan^{-1} t}{\sqrt{1-t^2}}dt=0$$以上より$$\displaystyle\int_0^π \tan^{-1}(\cos x)dx=0$$








\((2)\) 積分区間を \(\displaystyle \frac{π}{2}\) を境に切り離します。$$\displaystyle\int_0^π x \log (\tan^2 x)dx=\displaystyle\int_0^{\frac{π}{2}} x \log (\tan^2 x)dx+\displaystyle\int_{\frac{π}{2}}^π x \log (\tan^2 x)dx$$右の積分について \(\displaystyle x-\frac{π}{2}=t\) と置きます。\((dx=dt)\)
\begin{alignat}{2}
\displaystyle\int_{\frac{π}{2}}^π x \log (\tan^2 x)dx&=\displaystyle\int_0^{\frac{π}{2}} \left(t+\frac{π}{2}\right) \log (\cot^2 t)dt\\
&=-\displaystyle\int_0^{\frac{π}{2}} \left(x+\frac{π}{2}\right) \log (\tan^2 x)dx\\
\end{alignat}元の積分計算に戻ります。
\begin{alignat}{2}
\displaystyle\int_0^π x \log (\tan^2 x)dx&=\displaystyle\int_0^{\frac{π}{2}} x \log (\tan^2 x)dx-\displaystyle\int_0^{\frac{π}{2}} \left(x+\frac{π}{2}\right) \log (\tan^2 x)dx\\
&=\frac{π}{2}\displaystyle\int_0^{\frac{π}{2}} \log (\tan^2 x)dx=π\displaystyle\int_0^{\frac{π}{2}} \log (\tan x)dx=0
\end{alignat}以上より$$\displaystyle\int_0^π x \log (\tan^2 x)dx=0$$








\((3)\) \(f(x)=x \log (\cosh x)\) と置くと$$f(-x)=-x \log \{\cosh (-x)\}=-x \log (\cosh x)=-f(x)$$となるので、被積分関数は奇関数。以上より$$\displaystyle\int_{-\infty}^{\infty} x\log (\cosh x)dx=0$$









\((4)\) \((A)\) の式で \(a=1\) とすると$$\displaystyle\int_{-\infty}^{\infty} \frac{x}{(e^x+e^{-x})^μ}dx=0$$左辺を \(\cosh x\) を用いて表せば$$\frac{1}{2^μ}\displaystyle\int_{-\infty}^{\infty} \frac{x}{\cosh^μ x}dx=0$$両辺に \(2^μ\) を掛けます。以上より$$\displaystyle\int_{-\infty}^{\infty} \frac{x}{\cosh^μ x}dx=0$$






\((5)\) \((4)\) の両辺を \(μ\) で微分します。$$\frac{d}{dμ}\displaystyle\int_{-\infty}^{\infty} \frac{x}{\cosh^μ x}dx=0,  -\displaystyle\int_{-\infty}^{\infty} \frac{x\log \cosh x}{\cosh^μ x}dx=0$$以上より$$\displaystyle\int_{-\infty}^{\infty} \frac{x\log \cosh x}{\cosh^μ x}dx=0$$







\((6)\) \((4)\) の両辺を \(μ\) で \(n\) 回微分します。$$\frac{d^n}{dμ^n}\displaystyle\int_{-\infty}^{\infty} \frac{x}{\cosh^μ x}dx=0,  (-1)^n\displaystyle\int_{-\infty}^{\infty} \frac{x(\log \cosh x)^n}{\cosh^μ x}dx=0$$以上より$$\displaystyle\int_{-\infty}^{\infty} \frac{x(\log \cosh x)^n}{\cosh^μ x}dx=0$$

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