(x-√(x^2-a^2))^n[b,∞]などの定積分

\begin{alignat}{2}
&(1)  \displaystyle\int_b^{\infty} (x-\sqrt{x^2-a^2})^ndx=\frac{a^2(b-\sqrt{b^2-a^2})^{n-1}}{2(n-1)}-\frac{(b-\sqrt{b^2-a^2})^{n+1}}{2(n+1)}\\
&(2)  \displaystyle\int_b^{\infty} (\sqrt{x^2+1}-x)^ndx=\frac{(\sqrt{b^2+1}-b)^{n-1}}{2(n-1)}+\frac{(\sqrt{b^2+1}-b)^{n+1}}{2(n+1)}\\
\end{alignat}ただし、全て \(0 \lt a \leq b,\, n \geq 2\)
















<証明>

\((1)\) \(x-\sqrt{x^2-a^2}=t\) と置きます。このとき
\begin{alignat}{2}
\sqrt{x^2-a^2}&=x-t,  x^2-a^2=(x-t)^2\\
x^2-a^2&=x^2-2tx+t^2\\
2tx&=t^2+a^2,  x=\frac{t^2+a^2}{2t}\\
\end{alignat}両辺を微分します。
\begin{alignat}{2}
dx&=\frac{1}{2} \cdot \frac{2t \cdot t-(t^2+a^2)}{t^2}dt\\
&=\frac{1}{2} \cdot \frac{2t^2-t^2-a^2}{t^2}dt=\frac{t^2-a^2}{2t^2}dt\\
\end{alignat}これらを代入します。
\begin{alignat}{2}
\displaystyle\int_b^{\infty} (x-\sqrt{x^2-a^2})^ndx&=\displaystyle\int_{b-\sqrt{b^2-a^2}}^0 t^n \cdot \frac{t^2-a^2}{2t^2}dt=\frac{1}{2}\displaystyle\int_0^{b-\sqrt{b^2-a^2}} t^{n-2}(a^2-t^2)dt\\
&=\frac{1}{2}\displaystyle\int_0^{b-\sqrt{b^2-a^2}} (a^2t^{n-2}-t^n)dt=\frac{1}{2}\left[\frac{a^2t^{n-1}}{n-1}-\frac{t^{n+1}}{n+1}\right]_0^{b-\sqrt{b^2-a^2}}\\
&=\frac{a^2(b-\sqrt{b^2-a^2})^{n-1}}{2(n-1)}-\frac{(b-\sqrt{b^2-a^2})^{n+1}}{2(n+1)}
\end{alignat}以上より$$\displaystyle\int_b^{\infty} (x-\sqrt{x^2-a^2})^ndx=\frac{a^2(b-\sqrt{b^2-a^2})^{n-1}}{2(n-1)}-\frac{(b-\sqrt{b^2-a^2})^{n+1}}{2(n+1)}$$









\((2)\) \(\sqrt{x^2+1}-x=t\) と置きます。このとき
\begin{alignat}{2}
\sqrt{x^2+1}&=x+t,  x^2+1=(x+t)^2\\
x^2+1&=x^2+2tx+t^2\\
2tx&=1-t^2,  x=\frac{1-t^2}{2t}\\
\end{alignat}両辺を微分します。
\begin{alignat}{2}
dx&=\frac{1}{2} \cdot \frac{-2t \cdot t-(1-t^2)}{t^2}dt\\
&=\frac{1}{2} \cdot \frac{-2t^2-1+t^2}{t^2}dt=-\frac{1+t^2}{2t^2}dt\\
\end{alignat}これらを代入します。
\begin{alignat}{2}
\displaystyle\int_b^{\infty} (\sqrt{x^2+1}-x)^ndx&=\displaystyle\int_{\sqrt{b^2+1}-b}^0 t^n \cdot \left(-\frac{1+t^2}{2t^2}\right)dt=\frac{1}{2}\displaystyle\int_0^{\sqrt{b^2+1}-b} t^{n-2}(1+t^2)dt\\
&=\frac{1}{2}\displaystyle\int_0^{\sqrt{b^2+1}-b} (t^{n-2}-t^n)dt=\frac{1}{2}\left[\frac{t^{n-1}}{n-1}+\frac{t^{n+1}}{n+1}\right]_0^{\sqrt{b^2+1}-b}\\
&=\frac{(\sqrt{b^2+1}-b)^{n-1}}{2(n-1)}+\frac{(\sqrt{b^2+1}-b)^{n+1}}{2(n+1)}
\end{alignat}以上より$$\displaystyle\int_b^{\infty} (\sqrt{x^2+1}-x)^ndx=\frac{(\sqrt{b^2+1}-b)^{n-1}}{2(n-1)}+\frac{(\sqrt{b^2+1}-b)^{n+1}}{2(n+1)}$$

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