x/(sinx+acosx)^2[0,π/2]などの定積分

\begin{alignat}{2}
&(1)  \displaystyle\int_0^{\frac{π}{2}} \frac{x}{(\sin x+a \cos x)^2}dx=\frac{1}{1+a^2}\left(\frac{πa}{2}-\log a\right)  (a \gt 0)\\
&(2)  \displaystyle\int_0^{\frac{π}{4}} \frac{x}{(\cos x+a \sin x)^2}dx=\frac{1}{1+a^2}\left(\log \frac{1+a}{\sqrt{2}}+\frac{π}{4}\cdot \frac{1-a}{1+a}\right)  (a \gt 0)\\
&(3)  \displaystyle\int_0^π \frac{x^2(a \cos x+b)}{(a+b \cos x)^2}dx=\frac{2π}{b}\log \frac{2(a-b)}{a+\sqrt{a^2-b^2}}  (a \gt |b| \gt 0)
\end{alignat}










<証明>

次の定積分などの結果を用います。[詳細はこちらです。(A)(B)(C)]
\begin{alignat}{2}
&(A)  \displaystyle\int \frac{\cos x}{a \cos x+\sin x}dx=\frac{1}{1+a^2}(ax+\log |a \cos x+\sin x|)\\
&(B)  \displaystyle\int \frac{\cos x}{\cos x+a\sin x}dx=\frac{1}{1+a^2}(x+a\log | \cos x+a\sin x|)\\
&(C)  \displaystyle\int_0^π \log (a+b \cos x)dx=π\log \frac{a+\sqrt{a^2-b^2}}{2}  (a \gt |b| \gt 0)\\
\end{alignat}





\((1)\) 部分積分を行うために、次の積分を計算します。

\(\tan x=t\) と置きます。\(\displaystyle \left( \frac{1}{\cos^2 x}dx=dt\right)\)
\begin{alignat}{2}
\displaystyle\int \frac{1}{(\sin x+a\cos x)^2}dx&=\displaystyle\int \frac{1}{(\tan x+a)^2} \cdot \frac{1}{\cos^2 x}dx\\
&=\displaystyle\int \frac{1}{(t+a)^2}dt=-\frac{1}{t+a}=-\frac{1}{\tan x+a}\\
\end{alignat}
部分積分を行い \((A)\) の式を用いて計算を進めます。
\begin{alignat}{2}
\displaystyle\int_0^{\frac{π}{2}} \frac{x}{(\sin x+a \cos x)^2}dx&=\left[-\frac{x}{\tan x+a}\right]_0^{\frac{π}{2}}+\displaystyle\int_0^{\frac{π}{2}} \frac{1}{\tan x+a}dx\\
&=\displaystyle\int_0^{\frac{π}{2}} \frac{\cos x}{\sin x+a \cos x}dx\\
&=\frac{1}{1+a^2}[ax+\log |a \cos x+\sin x|]_0^{\frac{π}{2}}\\
&=\frac{1}{1+a^2}\left(\frac{πa}{2}-\log a\right)
\end{alignat}以上より$$\displaystyle\int_0^{\frac{π}{2}} \frac{x}{(\sin x+a \cos x)^2}dx=\frac{1}{1+a^2}\left(\frac{πa}{2}-\log a\right)  (a \gt 0)$$







\((2)\) 部分積分を行うために、次の積分を計算します。

\(\tan x=t\) と置きます。\(\displaystyle \left( \frac{1}{\cos^2 x}dx=dt\right)\)
\begin{alignat}{2}
\displaystyle\int \frac{1}{(\cos x+a\sin x)^2}dx&=\displaystyle\int \frac{1}{(1+a\tan x)^2} \cdot \frac{1}{\cos^2 x}dx\\
&=\displaystyle\int \frac{1}{(1+at)^2}dt=-\frac{1}{a} \cdot \frac{1}{1+at}=-\frac{1}{a(1+a\tan x)}\\
\end{alignat}
部分積分を行い \((B)\) の式を用いて計算を進めます。
\begin{alignat}{2}
\displaystyle\int_0^{\frac{π}{4}} \frac{x}{(\cos x+a \sin x)^2}dx&=\left[-\frac{x}{a(1+a \tan x)}\right]_0^{\frac{π}{4}} +\frac{1}{a} \displaystyle\int_0^{\frac{π}{4}} \frac{1}{1+a \tan x}dx\\
&=-\frac{π}{4a(1+a)}+\frac{1}{a}\displaystyle\int_0^{\frac{π}{4}} \frac{\cos x}{\cos x+a \sin x}dx\\
&=-\frac{π}{4a(1+a)}+\frac{1}{a(1+a^2)}[x+a \log |\cos x+a \sin x|]_0^{\frac{π}{4}}\\
&=-\frac{π}{4a(1+a)}+\frac{1}{a(1+a^2)}\left(\frac{π}{4}+a \log \frac{1+a}{\sqrt{2}}\right)\\
&=\frac{1}{1+a^2} \log \frac{1+a}{\sqrt{2}}+\frac{π}{4a}\left(\frac{1}{1+a^2}-\frac{1}{1+a}\right)\\
&=\frac{1}{1+a^2} \log \frac{1+a}{\sqrt{2}}+\frac{π}{4a}\cdot \frac{1+a-(1+a^2)}{(1+a)(1+a^2)}\\
&=\frac{1}{1+a^2} \log \frac{1+a}{\sqrt{2}}+\frac{π}{4}\cdot \frac{1-a}{(1+a)(1+a^2)}\\
&=\frac{1}{1+a^2}\left(\log \frac{1+a}{\sqrt{2}}+\frac{π}{4}\cdot \frac{1-a}{1+a}\right)
\end{alignat}以上より$$\displaystyle\int_0^{\frac{π}{4}} \frac{x}{(\cos x+a \sin x)^2}dx=\frac{1}{1+a^2}\left(\log \frac{1+a}{\sqrt{2}}+\frac{π}{4}\cdot \frac{1-a}{1+a}\right)  (a \gt 0)$$







\((3)\) 次の積分を用います。$$\displaystyle\int \frac{a \cos x+b}{(a+b \cos x)^2}dx=\frac{\sin x}{a+b \cos x}$$
部分積分を行い \((C)\) の式を代入します。
\begin{alignat}{2}
\displaystyle\int_0^π \frac{x^2(a \cos x+b)}{(a+b \cos x)^2}dx&=\left[x \cdot \frac{\sin x}{a+b \cos x}\right]_0^π -\displaystyle\int_0^π 2x \cdot \frac{\sin x}{a+b \cos x}dx\\
&=-2 \displaystyle\int_0^π \frac{x\sin x}{a+b \cos x}dx=\frac{2}{b} \displaystyle\int_0^π \frac{x(-b \sin x)}{a+b \cos x}dx\\
&=\frac{2}{b}\left\{\left[x \log |a+b \cos x|\right]_0^π-\displaystyle\int_0^π \log (a+b \cos x)dx\right\}\\
&=\frac{2}{b}\left\{π\log (a-b)-π\log \frac{a+\sqrt{a^2-b^2}}{2}\right\}\\
&=\frac{2π}{b}\left\{\log (a-b)-\log \frac{a+\sqrt{a^2-b^2}}{2}\right\}=\frac{2π}{b}\log \frac{2(a-b)}{a+\sqrt{a^2-b^2}}\\
\end{alignat}以上より$$\displaystyle\int_0^π \frac{x^2(a \cos x+b)}{(a+b \cos x)^2}dx=\frac{2π}{b}\log \frac{2(a-b)}{a+\sqrt{a^2-b^2}}  (a \gt |b| \gt 0)$$

コメントを残す

メールアドレスが公開されることはありません。 * が付いている欄は必須項目です