x^2cosax/(b^2-x^2)(c^2-x^2)[0,∞]などの定積分

\begin{alignat}{2}
&(1)  \displaystyle\int_0^{\infty} \frac{\cos ax}{(b^2-x^2)(c^2-x^2)}dx=\frac{π(c \sin ab-b \sin ac)}{2bc(c^2-b^2)}\\
&(2)  \displaystyle\int_0^{\infty} \frac{x\sin ax}{(b^2-x^2)(c^2-x^2)}dx=-\frac{π(\cos ab-\cos ac)}{2(c^2-b^2)}\\
&(3)  \displaystyle\int_0^{\infty} \frac{x^2\cos ax}{(b^2-x^2)(c^2-x^2)}dx=\frac{π(b \sin ab-c \sin ac)}{2(c^2-b^2)}\\
&(4)  \displaystyle\int_0^{\infty} \frac{x^3\sin ax}{(b^2-x^2)(c^2-x^2)}dx=-\frac{π(b^2 \cos ab-c^2 \cos ac)}{2(c^2-b^2)}\\
&(5)  \displaystyle\int_0^{\infty} \frac{x\sin ax}{(b^2-x^2)(c^2+x^2)}dx=\frac{π(e^{-ac}-\cos ab)}{2(c^2+b^2)}
\end{alignat}ただし、全て \(a,b,c \gt 0\)









<証明>

次の定積分の結果を用います。(詳細はこちらです)
\begin{alignat}{2}
&(A)  \displaystyle\int_0^{\infty} \frac{x \sin ax}{x^2+b^2}dx=\frac{πe^{-ab}}{2}\\
&(B)  \displaystyle\int_0^{\infty} \frac{\cos ax}{b^2-x^2}dx=\frac{π}{2b}\sin (ab)\\
&(C)  \displaystyle\int_0^{\infty} \frac{x\sin ax}{b^2-x^2}dx=-\frac{π}{2}\cos (ab)  
\end{alignat}ただし、全て \(a,b \gt 0\)





\begin{alignat}{2}
&(1)  \displaystyle\int_0^{\infty} \frac{\cos ax}{(b^2-x^2)(c^2-x^2)}dx\\
&=\frac{1}{c^2-b^2}\displaystyle\int_0^{\infty} \cos ax \left(\frac{1}{b^2-x^2}-\frac{1}{c^2-x^2}\right)dx\\
&=\frac{1}{c^2-b^2}\left(\displaystyle\int_0^{\infty} \frac{\cos ax}{b^2-x^2}dx-\displaystyle\int_0^{\infty} \frac{\cos ax}{c^2-x^2}dx\right)\\
&=\frac{1}{c^2-b^2}\left(\frac{π}{2b}\sin ab-\frac{π}{2c}\sin ac\right)=\frac{π(c \sin ab-b \sin ac)}{2bc(c^2-b^2)}
\end{alignat}以上より$$\displaystyle\int_0^{\infty} \frac{\cos ax}{(b^2-x^2)(c^2-x^2)}dx=\frac{π(c \sin ab-b \sin ac)}{2bc(c^2-b^2)}$$






\((2)\) から \((4)\) まで、前の積分の式の両辺を \(a\) で微分していきます。
\begin{alignat}{2}
(2)  \displaystyle\int_0^{\infty} \frac{-x\sin ax}{(b^2-x^2)(c^2-x^2)}dx&=\frac{π(bc \cos ab-bc \cos ax)}{2bc(c^2-b^2)}\\
&=\frac{π(\cos ab-\cos ac)}{2(c^2-b^2)}\\
\end{alignat}以上より$$\displaystyle\int_0^{\infty} \frac{x\sin ax}{(b^2-x^2)(c^2-x^2)}dx=-\frac{π(\cos ab-\cos ac)}{2(c^2-b^2)}$$







\begin{alignat}{2}
(3)  \displaystyle\int_0^{\infty} \frac{x^2\cos ax}{(b^2-x^2)(c^2-x^2)}dx&=-\frac{π(-b \sin ab+c \sin ac)}{2(c^2-b^2)}\\
&=\frac{π(b \sin ab-c \sin ac)}{2(c^2-b^2)}\\
\end{alignat}以上より$$\displaystyle\int_0^{\infty} \frac{x^2\cos ax}{(b^2-x^2)(c^2-x^2)}dx=\frac{π(b \sin ab-c \sin ac)}{2(c^2-b^2)}$$







\begin{alignat}{2}
(4)  \displaystyle\int_0^{\infty} \frac{-x^3\sin ax}{(b^2-x^2)(c^2-x^2)}dx&=\frac{π(b^2 \cos ab -c^2 \cos ac)}{2(c^2-b^2)}\\
\end{alignat}以上より$$\displaystyle\int_0^{\infty} \frac{x^3\sin ax}{(b^2-x^2)(c^2-x^2)}dx=-\frac{π(b^2 \cos ab-v^s \cos ac)}{2(c^2-b^2)}$$







\begin{alignat}{2}
&(5)  \displaystyle\int_0^{\infty} \frac{x\sin ax}{(b^2-x^2)(c^2+x^2)}dx\\
&=\frac{1}{c^2+b^2}\displaystyle\int_0^{\infty} x \sin ax \left(\frac{1}{b^2-x^2}+\frac{1}{x^2+c^2}\right)dx\\
&=\frac{1}{c^2+b^2}\left(\displaystyle\int_0^{\infty} \frac{x \sin ax}{b^2-x^2}dx+\displaystyle\int_0^{\infty} \frac{x \sin ax}{x^2+c^2}dx\right)\\
&=\frac{1}{c^2+b^2}\left(-\frac{π}{2}\cos ab+\frac{πe^{-ac}}{2}\right)=\frac{π(e^{-ac}-\cos ab)}{2(c^2+b^2)}
\end{alignat}以上より$$\displaystyle\int_0^{\infty} \frac{x\sin ax}{(b^2-x^2)(c^2+x^2)}dx=\frac{π(e^{-ac}-\cos ab)}{2(c^2+b^2)}$$

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