x^2e^{-μx}/(1+e^{-x}dx)[-∞,∞]などの定積分

\begin{alignat}{2}
&(1)  \displaystyle\int_{-\infty}^{\infty} \frac{x^2e^{-μx}}{1+e^{-x}}dx=π^3 \csc^3 μπ(2- \sin^2 μπ)\\
&(2)  \displaystyle\int_{-\infty}^{\infty} \frac{xe^{μx}}{a+e^x}dx=πa^{μ-1}\csc μπ(\log a-π\cot μπ)\\
\end{alignat}ただし、全て \(a \gt 0, 0 \lt μ \lt 1\)









<証明>

\((1)\) 次の定積分を \(I(μ)\) と置きます。$$I(μ)=\displaystyle\int_{-\infty}^{\infty} \frac{e^{-μx}}{1+e^{-x}}dx$$\(I(μ)\) を \(μ\) で \(2\) 回微分します。$$I’’(μ)=\displaystyle\int_{-\infty}^{\infty} \frac{x^2e^{-μx}}{1+e^{-x}}dx$$となるので \(I’’(μ)\) を求めます。

\(e^{-x}=t\) と置きます。\((-tdx=dt)\)$$I(μ)=\displaystyle\int_{-\infty}^{\infty} \frac{e^{-μx}}{1+e^{-x}}dx=\displaystyle\int_{\infty}^0 \frac{t^{μ}}{1+t}\left(-\frac{1}{t}\right)dt=\displaystyle\int_0^{\infty} \frac{t^{μ-1}}{1+t}dt=π\csc μπ$$\(I(μ)\) を \(μ\) で \(2\) 回微分します。
\begin{alignat}{2}
I’(μ)&=π \cdot (-1)(\sin μπ)^{-2}\cdot π\cos μpπ=-π^2 \cdot \frac{\cos μπ}{\sin^2 μπ}\\
I’’(μ)&=-π^2 \cdot \frac{-π\sin πμ \cdot \sin^2 μπ-\cos μπ\cdot 2 \sin μπ \cdot π\cos μπ}{\sin^4 μπ}\\
&=π^3 \cdot \frac{\sin^2 μπ+2 \cos^2 μπ}{\sin^3 μπ}=π^3 \csc^3 μπ(2- \sin^2 μπ)
\end{alignat}以上より$$\displaystyle\int_{-\infty}^{\infty} \frac{x^2e^{-μx}}{1+e^{-x}}dx=π^3 \csc^3 μπ(2- \sin^2 μπ)$$








\((2)\) 次の定積分を \(I(μ)\) と置きます。$$I(μ)=\displaystyle\int_{-\infty}^{\infty} \frac{e^{μx}}{a+e^x}dx$$\(I(μ)\) を \(μ\) で微分します。$$I’(μ)=\displaystyle\int_{-\infty}^{\infty} \frac{xe^{μx}}{a+e^x}dx$$となるので \(I’(μ)\) を求めます。

\(e^x=at\) と置きます。\((tdx=dt)\)
\begin{alignat}{2}
I(μ)&=\displaystyle\int_{-\infty}^{\infty} \frac{e^{μx}}{a+e^x}dx=\displaystyle\int_0^{\infty} \frac{(at)^μ}{a+at}\cdot \frac{1}{t}dt=a^{μ-1}\displaystyle\int_0^{\infty} \frac{t^{μ-1}}{1+t}dt\\
&=a^{μ-1}\cdot π\csc μπ =π\cdot \frac{a^{μ-1}}{\sin μπ}\\
\end{alignat}\(I(μ)\) を \(μ\) で微分します。
\begin{alignat}{2}
I’(μ)&=π \cdot \frac{(\log a)a^{μ-1} \sin μπ-a^{μ-1} \cdot π\csc μπ}{\sin^2 μπ}\\
&=πa^{μ-1}\csc μπ(\log a-π\cot μπ)
\end{alignat}以上より$$\displaystyle\int_{-\infty}^{\infty} \frac{xe^{μx}}{a+e^x}dx=πa^{μ-1}\csc μπ(\log a-π\cot μπ)$$

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