x^2e^{-μx^-2vx}[0,∞]などの定積分

\begin{alignat}{2}
&(1)  \displaystyle\int_0^{\infty} e^{-μx^2-2vx}dx=\frac{1}{2}\sqrt{\frac{π}{μ}} e^{\frac{v^2}{μ}} \left\{1- \mathrm{erf}\left(\frac{v}{\sqrt{μ}}\right)\right\}\\
&(2)  \displaystyle\int_0^{\infty} xe^{-μx^2-2vx}dx=\frac{1}{2μ}-\frac{v}{2μ}\sqrt{\frac{π}{μ}} e^{\frac{v^2}{μ}} \left\{1- \mathrm{erf}\left(\frac{v}{\sqrt{μ}}\right)\right\}\\
&(3)  \displaystyle\int_0^{\infty} x^2e^{-μx^2-2vx}dx=-\frac{v}{2μ^2}+\frac{2v^2+μ}{4}\sqrt{\frac{π}{μ^5}} e^{\frac{v^2}{μ}} \left\{1- \mathrm{erf}\left(\frac{v}{\sqrt{μ}}\right)\right\}
\end{alignat}ただし、全て \(μ \gt 0\)











<証明>

\((1)\) 指数部分を平方完成します。$$-μx^2-2vx=-μ\left(x^2+\frac{2v}{μ}x\right)=-μ\left\{\left(x+\frac{v}{μ}\right)^2-\frac{v^2}{μ^2}\right\}=-μ\left(x+\frac{v}{μ}\right)^2+\frac{v^2}{μ}$$その後は \(\displaystyle \sqrt{μ}\left(x+\frac{v}{μ}\right)=t\) と置きます。\((\sqrt{μ}dx=dt)\)
\begin{alignat}{2}
\displaystyle\int_0^{\infty} e^{-μx^2-2vx}dx&=\displaystyle\int_0^{\infty} e^{-μ\left(x+\frac{v}{μ}\right)^2+\frac{v^2}{μ}}dx=e^{\frac{v^2}{μ}} \displaystyle\int_0^{\infty} e^{-μ\left(x+\frac{v}{μ}\right)^2}dx\\
&=e^{\frac{v^2}{μ}} \displaystyle\int_{\frac{v}{\sqrt{μ}}}^{\infty} e^{-t^2} \cdot \frac{1}{\sqrt{μ}}dt=\frac{1}{\sqrt{μ}}e^{\frac{v^2}{μ}} \cdot \frac{\sqrt{π}}{2}\left\{1- \mathrm{erf}\left(\frac{v}{\sqrt{μ}}\right)\right\}\\
\end{alignat}以上より$$\displaystyle\int_0^{\infty} e^{-μx^2-2vx}dx=\frac{1}{2}\sqrt{\frac{π}{μ}} e^{\frac{v^2}{μ}} \left\{1- \mathrm{erf}\left(\frac{v}{\sqrt{μ}}\right)\right\}$$







\((2)\) 部分積分を行い \((1)\) の結果を代入します。
\begin{alignat}{2}
\displaystyle\int_0^{\infty} xe^{-μx^2-2vx}dx&=-\frac{1}{2μ}\displaystyle\int_0^{\infty} (-2μx-2v)e^{-μx^2-2vx}dx-\frac{v}{μ}\displaystyle\int_0^{\infty} e^{-μx^2-2vx}dx\\
&=-\frac{1}{2μ}\displaystyle\int_0^{\infty} (e^{-μx^2-2vx})’dx-\frac{v}{μ}\displaystyle\int_0^{\infty} e^{-μx^2-2vx}dx\\
&=-\frac{1}{2μ}\left[e^{-μx^2-2vx}\right]_0^{\infty} -\frac{v}{μ}\displaystyle\int_0^{\infty} e^{-μx^2-2vx}dx\\

&=\frac{1}{2μ}-\frac{v}{μ} \cdot \frac{1}{2}\sqrt{\frac{π}{μ}} e^{\frac{v^2}{μ}} \left\{1- \mathrm{erf}\left(\frac{v}{\sqrt{μ}}\right)\right\}\\
\end{alignat}以上より$$\displaystyle\int_0^{\infty} xe^{-μx^2-2vx}dx=\frac{1}{2μ}-\frac{v}{2μ}\sqrt{\frac{π}{μ}} e^{\frac{v^2}{μ}} \left\{1- \mathrm{erf}\left(\frac{v}{\sqrt{μ}}\right)\right\}$$







\((3)\) 部分積分を行い \((1)(2)\) の結果を代入します。
\begin{alignat}{2}
&  \displaystyle\int_0^{\infty} x^2e^{-μx^2-2vx}dx\\
&=-\frac{1}{2μ}\displaystyle\int_0^{\infty} (-2μx-2v)e^{-μx^2-2vx}dx-\frac{v}{μ}\displaystyle\int_0^{\infty} xe^{-μx^2-2vx}dx\\
&=-\frac{1}{2μ}\left\{[xe^{-μx^2-2vx}]_0^{\infty}-\displaystyle\int_0^{\infty} e^{-μx^2-2vx}dx\right\}-\frac{v}{μ}\displaystyle\int_0^{\infty} xe^{-μx^2-2vx}dx\\
&=\frac{1}{2μ}\displaystyle\int_0^{\infty} e^{-μx^2-2vx}dx-\frac{v}{μ}\displaystyle\int_0^{\infty} xe^{-μx^2-2vx}dx\\
&=\frac{1}{2μ} \cdot \frac{1}{2}\sqrt{\frac{π}{μ}} e^{\frac{v^2}{μ}} \left\{1- \mathrm{erf}\left(\frac{v}{\sqrt{μ}}\right)\right\} +\frac{v}{μ}\left[\frac{1}{2μ}-\frac{v}{2μ}\sqrt{\frac{π}{μ}} e^{\frac{v^2}{μ}} \left\{1- \mathrm{erf}\left(\frac{v}{\sqrt{μ}}\right)\right\}\right]\\
&=-\frac{v}{2μ^2}+\frac{v^2}{2μ^2}\sqrt{\frac{π}{μ}} e^{\frac{v^2}{μ}} \left\{1- \mathrm{erf}\left(\frac{v}{\sqrt{μ}}\right)\right\}+\frac{1}{4μ}\sqrt{\frac{π}{μ}} e^{\frac{v^2}{μ}} \left\{1- \mathrm{erf}\left(\frac{v}{\sqrt{μ}}\right)\right\}\\
&=-\frac{v}{2μ^2}+\left(\frac{v^2}{2μ^2}+\frac{1}{4μ}\right)\sqrt{\frac{π}{μ}} e^{\frac{v^2}{μ}} \left\{1- \mathrm{erf}\left(\frac{v}{\sqrt{μ}}\right)\right\}\\
&=-\frac{v}{2μ^2}+\frac{2v^2+μ}{4}\sqrt{\frac{π}{μ^5}} e^{\frac{v^2}{μ}} \left\{1- \mathrm{erf}\left(\frac{v}{\sqrt{μ}}\right)\right\}\\
\end{alignat}以上より$$\displaystyle\int_0^{\infty} x^2e^{-μx^2-2vx}dx=-\frac{v}{2μ^2}+\frac{2v^2+μ}{4}\sqrt{\frac{π}{μ^5}} e^{\frac{v^2}{μ}} \left\{1- \mathrm{erf}\left(\frac{v}{\sqrt{μ}}\right)\right\}$$

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