x^2e^{-μx}/(a^3-a^2x+ax^2-x^3)[0,∞]などの定積分

\begin{alignat}{2}
&(1)  \displaystyle\int_0^{\infty} \frac{e^{-μx}}{a^3-a^2x+ax^2-x^3}dx\\
&=\frac{1}{2a^2}\left\{\mathrm{ci}(aμ)(\sin aμ-\cos aμ)-\mathrm{si}(aμ)(\sin aμ+\cos aμ)+e^{-aμ}\mathrm{Ei}(aμ)\right\}\\
&(2)  \displaystyle\int_0^{\infty} \frac{xe^{-μx}}{a^3-a^2x+ax^2-x^3}dx\\
&=-\frac{1}{2a}\left\{\mathrm{ci}(aμ)(\sin aμ+\cos aμ)+\mathrm{si}(aμ)(\sin aμ-\cos aμ)-e^{-aμ}\mathrm{Ei}(aμ)\right\}\\
&(3)  \displaystyle\int_0^{\infty} \frac{x^2e^{-μx}}{a^3-a^2x+ax^2-x^3}dx\\
&=-\frac{1}{2}\left\{\mathrm{ci}(aμ)(\sin aμ-\cos aμ)-\mathrm{si}(aμ)(\sin aμ+\cos aμ)-e^{-aμ}\mathrm{Ei}(aμ)\right\}
\end{alignat}ただし、全て \(μ,a \gt 0\)









<証明>

次の定積分の結果を用います。[詳細はこちらです。(A)(B)(C)(D)]
\begin{alignat}{2}
&(A)  \displaystyle\int_0^{\infty} \frac{e^{-μx}}{b^2+x^2}dx=\frac{1}{b}\{\mathrm{ci}(bμ)\sin bμ-\mathrm{si}(bμ)\cos bμ\}\\
&(B)  \displaystyle\int_0^{\infty} \frac{xe^{-μx}}{b^2+x^2}dx=-\mathrm{ci}(bμ)\cos bμ-\mathrm{si}(bμ)\sin bμ\\
&(C)  \displaystyle\int_0^{\infty} \frac{e^{-μx}}{b^2-x^2}dx=\frac{1}{2b}\{e^{-bμ}\mathrm{Ei}(bμ)-e^{bμ}\mathrm{Ei}(-bμ)\}\\
&(D)  \displaystyle\int_0^{\infty} \frac{xe^{-μx}}{b^2-x^2}dx=\frac{1}{2}\left\{e^{-bμ}\mathrm{Ei}(bμ)+e^{bμ}\mathrm{Ei}(-bμ)\right\}\\
\end{alignat}ただし、全て \(μ,b \gt 0\)


また予め、次の関数を \(μ\) で微分しておきます。
\begin{alignat}{2}
&\frac{d}{dμ}\mathrm{si}(aμ)=-\frac{d}{dμ}\displaystyle\int_{aμ}^{\infty} \frac{\sin t}{t}dt=a \cdot \frac{\sin aμ}{aμ}=\frac{\sin aμ}{μ}\\
&\frac{d}{dμ}\mathrm{ci}(aμ)=-\frac{d}{dμ}\displaystyle\int_{aμ}^{\infty} \frac{\cos t}{t}dt=a \cdot \frac{\cos aμ}{aμ}=\frac{\cos aμ}{μ}\\
&\frac{d}{dμ}\mathrm{Ei}(aμ)=\frac{d}{dμ}\displaystyle\int_{-\infty}^{aμ} \frac{e^t}{t}dt=a \cdot \frac{e^{aμ}}{aμ}=\frac{e^{aμ}}{μ}\\
\end{alignat}





\((1)\) 分子と分母に \(x+a\) を掛けます。
\begin{alignat}{2}
\displaystyle\int_0^{\infty} \frac{e^{-μx}}{a^3-a^2x+ax^2-x^3}dx&=\displaystyle\int_0^{\infty} \frac{(x+a)e^{-μx}}{(x+a)(a^3-a^2x+ax^2-x^3)}dx\\
&=\displaystyle\int_0^{\infty} \frac{(x+a)e^{-μx}}{a^4-x^4}dx=-\displaystyle\int_0^{\infty} \frac{(x+a)e^{-μx}}{(x^2-a^2)(x^2+a^2)}dx\\
&=-\frac{1}{2a^2}\displaystyle\int_0^{\infty} (x+a)e^{-μx}\left(\frac{1}{x^2-a^2}-\frac{1}{x^2+a^2}\right)dx\\
\end{alignat}積分を切り離し \((A)(B)(C)(D)\) の式を代入します。
\begin{alignat}{2}
&=-\frac{1}{2a^2}\left(\displaystyle\int_0^{\infty} \frac{xe^{-μx}}{x^2-a^2}dx+a\displaystyle\int_0^{\infty} \frac{e^{-μx}}{x^2-a^2}dx-\displaystyle\int_0^{\infty} \frac{xe^{-μx}}{x^2+a^2}dx-a\displaystyle\int_0^{\infty} \frac{e^{-μx}}{x^2+a^2}dx\right)\\
&=-\frac{1}{2a^2}\left[-\frac{1}{2}\{e^{-aμ}\mathrm{Ei}(aμ)+e^{aμ}\mathrm{Ei}(-aμ)\}-\frac{1}{2}\{e^{-aμ}\mathrm{Ei}(aμ)-e^{aμ}\mathrm{Ei}(-aμ)\}+\mathrm{ci}(aμ)\cos aμ+\mathrm{si}(aμ)\sin aμ-\mathrm{ci}(aμ)\sin aμ+\mathrm{si}(aμ) \cos aμ\right]\\
&=\frac{1}{2a^2}\left\{\mathrm{ci}(aμ)(\sin aμ-\cos aμ)-\mathrm{si}(aμ)(\sin aμ-\cos aμ)+e^{-aμ}\mathrm{Ei}(aμ)\right\}
\end{alignat}以上より$$\displaystyle\int_0^{\infty} \frac{e^{-μx}}{a^3-a^2x+ax^2-x^3}dx=\frac{1}{2a^2}\left\{\mathrm{ci}(aμ)(\sin aμ-\cos aμ)-\mathrm{si}(aμ)(\sin aμ+\cos aμ)+e^{-aμ}\mathrm{Ei}(aμ)\right\}$$







\((2)\) \((1)\) の式の両辺を \(μ\) で微分します。

\((α)\) 左辺を \(μ\) で微分します。$$\frac{d}{dμ}\displaystyle\int_0^{\infty} \frac{e^{-μx}}{a^3-a^2x+ax^2-x^3}dx=-\displaystyle\int_0^{\infty} \frac{xe^{-μx}}{a^3-a^2x+ax^2-x^3}dx$$

\((β)\) 右辺を \(μ\) で微分します。
\begin{alignat}{2}
&\frac{d}{dμ}\left[\frac{1}{2a^2}\left\{\mathrm{ci}(aμ)(\sin aμ-\cos aμ)-\mathrm{si}(aμ)(\sin aμ+\cos aμ)+e^{-aμ}\mathrm{Ei}(aμ)\right\}\right]\\
&=\frac{1}{2a^2}\left[\frac{\cos aμ}{μ}(\sin aμ-\cos aμ)+\mathrm{ci}(aμ)(a \cos aμ+a \sin aμ)-\frac{\sin aμ}{μ} (\sin aμ+\cos aμ)-\mathrm{si}(aμ)(a \cos aμ -a \sin aμ)+\left\{-ae^{-aμ}\mathrm{Ei}(aμ)+e^{-aμ} \cdot \frac{e^{aμ}}{μ} \right\}\right]\\
&=\frac{1}{2a^2}\left\{-\frac{\cos^2 aμ}{μ}+\mathrm{ci}(aμ)(a \cos aμ+a \sin aμ)-\frac{\sin^2 aμ}{μ}-\mathrm{si}(aμ)(a \cos aμ -a \sin aμ)-ae^{-aμ}\mathrm{Ei}(aμ)+\frac{1}{μ}\right\}\\
&=\frac{1}{2a^2}\left\{\frac{1-\cos^2 aμ+\sin^2 aμ}{μ}+\mathrm{ci}(aμ)(a \cos aμ+a \sin aμ)-\mathrm{si}(aμ)(a \cos aμ -a \sin aμ)-ae^{-aμ}\mathrm{Ei}(aμ)\right\}\\
&=\frac{1}{2a^2}\left\{\mathrm{ci}(aμ)(a \cos aμ+a \sin aμ)-\mathrm{si}(aμ)(a \cos aμ -a \sin aμ)-ae^{-aμ}\mathrm{Ei}(aμ)\right\}\\
&=\frac{1}{2a}\left\{\mathrm{ci}(aμ)(\sin aμ+\cos aμ)+\mathrm{si}(aμ)(\sin aμ-\cos aμ)-e^{-aμ}\mathrm{Ei}(aμ)\right\}\\
\end{alignat}以上より$$\displaystyle\int_0^{\infty} \frac{xe^{-μx}}{a^3-a^2x+ax^2-x^3}dx=-\frac{1}{2a}\left\{\mathrm{ci}(aμ)(\sin aμ+\cos aμ)+\mathrm{si}(aμ)(\sin aμ-\cos aμ)-e^{-aμ}\mathrm{Ei}(aμ)\right\}$$







\((3)\) \((2)\) の式の両辺を \(μ\) で微分します。

\((α)\) 左辺を \(μ\) で微分します。$$\frac{d}{dμ}\displaystyle\int_0^{\infty} \frac{xe^{-μx}}{a^3-a^2x+ax^2-x^3}dx=-\displaystyle\int_0^{\infty} \frac{x^2e^{-μx}}{a^3-a^2x+ax^2-x^3}dx$$

\((β)\) 右辺を \(μ\) で微分します。
\begin{alignat}{2}
&\frac{d}{dμ}\left[-\frac{1}{2a}\left\{\mathrm{ci}(aμ)(\sin aμ+\cos aμ)+\mathrm{si}(aμ)(\sin aμ-\cos aμ)-e^{-aμ}\mathrm{Ei}(aμ)\right\}\right]\\
&=-\frac{1}{2a}\left[\frac{\cos aμ}{μ}(\sin aμ+\cos aμ)+\mathrm{ci}(aμ)(a \cos aμ-a \sin aμ)+\frac{\sin aμ}{μ} (\sin aμ-\cos aμ)+\mathrm{si}(aμ)(a \cos aμ +a \sin aμ)-\left\{-ae^{-aμ}\mathrm{Ei}(aμ)+e^{-aμ} \cdot \frac{e^{aμ}}{μ} \right\}\right]\\
&=-\frac{1}{2a}\left\{\frac{\cos^2 aμ}{μ}+\mathrm{ci}(aμ)(a \cos aμ-a \sin aμ)+\frac{\sin^2 aμ}{μ}+\mathrm{si}(aμ)(a \cos aμ +a \sin aμ)+ae^{-aμ}\mathrm{Ei}(aμ)-\frac{1}{μ}\right\}\\
&=-\frac{1}{2a}\left\{\frac{\cos^2 aμ-\sin^2 aμ-1}{μ}+\mathrm{ci}(aμ)(a \cos aμ-a \sin aμ)+\mathrm{si}(aμ)(a \cos aμ +a \sin aμ)+ae^{-aμ}\mathrm{Ei}(aμ)\right\}\\
&=-\frac{1}{2a}\left\{\mathrm{ci}(aμ)(a \cos aμ-a \sin aμ)+\mathrm{si}(aμ)(a \cos aμ +a \sin aμ)+ae^{-aμ}\mathrm{Ei}(aμ)\right\}\\
&=\frac{1}{2}\left\{\mathrm{ci}(aμ)(\sin aμ-\cos aμ)-\mathrm{si}(aμ)(\sin aμ+\cos aμ)-e^{-aμ}\mathrm{Ei}(aμ)\right\}\\
\end{alignat}以上より$$\displaystyle\int_0^{\infty} \frac{x^2e^{-μx}}{a^3-a^2x+ax^2-x^3}dx=-\frac{1}{2}\left\{\mathrm{ci}(aμ)(\sin aμ-\cos aμ)-\mathrm{si}(aμ)(\sin aμ+\cos aμ)-e^{-aμ}\mathrm{Ei}(aμ)\right\}$$

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