x^2e^{-p^2x^2}sinax[0,∞]などの定積分

\begin{alignat}{2}
&(1) \displaystyle\int_0^{\infty} xe^{-p^2x^2}\sin axdx=\frac{a\sqrt{π}}{4p^3}\exp \left(-\frac{a^2}{4p^2}\right)\\
&(2) \displaystyle\int_0^{\infty} xe^{-p^2x^2}\cos axdx=\frac{1}{2p^2}-\frac{a}{4p^3}\displaystyle\sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^n \cdot n!}{(2n+1)!}\left(\frac{a}{p}\right)^{2n+1}\\
&(3) \displaystyle\int_0^{\infty} x^2e^{-p^2x^2}\sin axdx=\frac{a}{4p^4}+\frac{2p^2-a^2}{8p^5}\displaystyle\sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^n \cdot n!}{(2n+1)!}\left(\frac{a}{p}\right)^{2n+1}\\
\end{alignat}ただし、全て \(p \gt 0\)










<証明>

次の定積分の結果を用います。(詳細はこちらです。)
\begin{alignat}{2}
&(A) \displaystyle\int_0^{\infty} e^{-ax^2} \sin bxdx=\frac{b}{2a}\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{(2n-1)!!}\left(-\frac{b^2}{2a}\right)^{n-1}\\
&(B) \displaystyle\int_0^{\infty} e^{-ax^2} \cos bxdx=\frac{1}{2}\sqrt{\frac{π}{a}}\exp \left(-\frac{b^2}{4a}\right)\\
\end{alignat}ただし、全て \(a \gt 0\)



上記の \((B)\) を用いれば$$\displaystyle\int_0^{\infty} e^{-p^2x^2}\cos axdx=\frac{\sqrt{π}}{2p}\exp\left(-\frac{a^2}{4p^2}\right)$$また \((A)\) を用いて変形すると
\begin{alignat}{2}
&\displaystyle\int_0^{\infty} e^{-p^2x^2}\sin axdx=\frac{a}{2p^2}\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{(2n-1)!!}\left(-\frac{a^2}{2p^2}\right)^{n-1}\\
&                =\frac{a}{2p^2}\displaystyle\sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^n}{(2n+1)!!} \cdot \frac{1}{2^n}\left(\frac{a}{p}\right)^{2n}\\
&                =\frac{1}{2p}\displaystyle\sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^n \cdot n!}{(2n+1)!}\left(\frac{a}{p}\right)^{2n+1}\\
\end{alignat}式の煩雑さを避けるためにシグマを \(T\) と置きます。$$T=\displaystyle\sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^n \cdot n!}{(2n+1)!}\left(\frac{a}{p}\right)^{2n+1}$$よって$$\displaystyle\int_0^{\infty} e^{-p^2x^2}\sin axdx=\frac{T}{2p}$$



全て部分積分後、上記を用いて解きます。

\begin{alignat}{2}
&(1)  \displaystyle\int_0^{\infty} xe^{-p^2x^2}\sin axdx\\
&=-\frac{1}{2p^2}\displaystyle\int_0^{\infty} (e^{-p^2x^2})’\sin axdx\\
&=-\frac{1}{2p^2}\left\{[e^{-p^2x^2}\sin ax]_0^{\infty} -a \displaystyle\int_0^{\infty} e^{-p^2x^2}\cos axdx\right\}\\
&=\frac{a}{2p^2}\displaystyle\int_0^{\infty} e^{-p^2x^2}\cos axdx\\
&=\frac{a}{2p^2}\cdot \frac{\sqrt{π}}{2p}\exp\left(-\frac{a^2}{4p^2}\right)=\frac{a\sqrt{π}}{4p^3}\exp \left(-\frac{a^2}{4p^2}\right)\\
\end{alignat}以上より$$\displaystyle\int_0^{\infty} xe^{-p^2x^2}\sin axdx=\frac{a\sqrt{π}}{4p^3}\exp \left(-\frac{a^2}{4p^2}\right)$$






\begin{alignat}{2}
&(2)  \displaystyle\int_0^{\infty} xe^{-p^2x^2}\cos axdx\\
&=-\frac{1}{2p^2}\displaystyle\int_0^{\infty} (e^{-p^2x^2})’\cos axdx\\
&=-\frac{1}{2p^2}\left\{[e^{-p^2x^2}\cos ax]_0^{\infty} +a \displaystyle\int_0^{\infty} e^{-p^2x^2}\sin axdx\right\}\\
&=-\frac{1}{2p^2}\left\{-1 +a \displaystyle\int_0^{\infty} e^{-p^2x^2}\sin axdx\right\}\\
&=\frac{1}{2p^2}-\frac{a}{2p^2}\displaystyle\int_0^{\infty} e^{-p^2x^2}\sin axdx\\
&=\frac{1}{2p^2}-\frac{a}{2p^2}\left\{\frac{1}{2p}\displaystyle\sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^n \cdot n!}{(2n+1)!}\left(\frac{a}{p}\right)^{2n+1}\right\}\\
&=\frac{1}{2p^2}-\frac{a}{4p^3}\displaystyle\sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^n \cdot n!}{(2n+1)!}\left(\frac{a}{p}\right)^{2n+1}
\end{alignat}以上より$$\displaystyle\int_0^{\infty} xe^{-p^2x^2}\cos axdx=\frac{1}{2p^2}-\frac{a}{4p^3}\displaystyle\sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^n \cdot n!}{(2n+1)!}\left(\frac{a}{p}\right)^{2n+1}$$







\begin{alignat}{2}
&(3)  \displaystyle\int_0^{\infty} x^2e^{-p^2x^2}\sin axdx\\
&=-\frac{1}{2p^2}\displaystyle\int_0^{\infty} x(e^{-p^2x^2})’\sin axdx\\
&=-\frac{1}{2p^2}\left\{[xe^{-p^2x^2}\sin ax]_0^{\infty} -\displaystyle\int_0^{\infty} e^{-p^2x^2}(\sin ax+ax \cos ax)dx\right\}\\
&=\frac{1}{2p^2}\displaystyle\int_0^{\infty} e^{-p^2x^2}\sin axdx+\frac{a}{2p^2}\displaystyle\int_0^{\infty} xe^{-p^2x^2}\cos axdx\\
&=\frac{1}{2p^2} \cdot \frac{T}{2p}+\frac{a}{2p^2}\left(\frac{1}{2p^2}-\frac{aT}{4p^3}\right)\\
&=\frac{T}{4p^3}+\frac{a}{4p^4}-\frac{a^2T}{8p^5}=\frac{a}{4p^2}+\frac{2p^2-a^2}{8p^5}T\\
&=\frac{a}{4p^4}+\frac{2p^2-a^2}{8p^5}\displaystyle\sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^n \cdot n!}{(2n+1)!}\left(\frac{a}{p}\right)^{2n+1}
\end{alignat}以上より$$\displaystyle\int_0^{\infty} x^2e^{-p^2x^2}\sin axdx=\frac{a}{4p^4}+\frac{2p^2-a^2}{8p^5}\displaystyle\sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^n \cdot n!}{(2n+1)!}\left(\frac{a}{p}\right)^{2n+1}$$

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