x^2(e^x-e^{x}+2)/(e^x-1)^2[0,∞]などの定積分

\begin{alignat}{2}
&(1)  \displaystyle\int_{-\infty}^{\infty} \frac{x^2(a^2e^x+b^2e^{-x})}{(a^2e^x-b^2e^{-x})^2}dx=\frac{π^2}{2ab}\\
&(2)  \displaystyle\int_{-\infty}^{\infty} \frac{x^2(a^2e^x-b^2e^{-x})}{(a^2e^x+b^2e^{-x})^2}dx=\frac{π}{ab}\log \frac{b}{a}\\
&(3)  \displaystyle\int_0^{\infty} \frac{x^2(e^x-e^{-x}+2)}{(e^x-1)^2}dx=\frac{2}{3}π^2-2\\
\end{alignat}ただし、全て \(a,b \gt 0\)












<証明>

次の定積分の結果を用います。(詳細はこちらです)
\begin{alignat}{2}
&(A) \displaystyle\int_{-\infty}^{\infty} \frac{x}{a^2e^x+b^2e^{-x}}dx=\frac{π}{2ab}\log \frac{b}{a}\\
&(B) \displaystyle\int_{-\infty}^{\infty} \frac{x}{a^2e^x-b^2e^{-x}}dx=\frac{π^2}{4ab}\\
\end{alignat}ただし、全て \(a.b \gt 0\)



\((1)(2)\) は部分積分を行い、\((A)(B)\) を代入します。

\begin{alignat}{2}
(1)  \displaystyle\int_{-\infty}^{\infty} \frac{x^2(a^2e^x+b^2e^{-x})}{(a^2e^x-b^2e^{-x})^2}dx&=\left[-\frac{x^2}{a^2e^x-b^2e^{-x}}\right]_{-\infty}^{\infty}+\displaystyle\int_{-\infty}^{\infty} \frac{2x}{a^2e^x-b^2e^{-x}}dx\\
&=2\displaystyle\int_{-\infty}^{\infty} \frac{x}{a^2e^x-b^2e^{-x}}dx=2 \cdot \frac{π^2}{4ab}=\frac{π^2}{2ab}\\
\end{alignat}以上より$$\displaystyle\int_{-\infty}^{\infty} \frac{x^2(a^2e^x+b^2e^{-x})}{(a^2e^x-b^2e^{-x})^2}dx=\frac{π^2}{2ab}$$







\begin{alignat}{2}
(2)  \displaystyle\int_{-\infty}^{\infty} \frac{x^2(a^2e^x-b^2e^{-x})}{(a^2e^x+b^2e^{-x})^2}dx&=\left[-\frac{x^2}{a^2e^x+b^2e^{-x}}\right]_{-\infty}^{\infty}+\displaystyle\int_{-\infty}^{\infty} \frac{2x}{a^2e^x+b^2e^{-x}}dx\\
&=2\displaystyle\int_{-\infty}^{\infty} \frac{x}{a^2e^x+b^2e^{-x}}dx=2 \cdot \frac{π}{2ab}\log \frac{b}{a}=\frac{π}{ab}\log \frac{b}{a}\\
\end{alignat}以上より$$\displaystyle\int_{-\infty}^{\infty} \frac{x^2(a^2e^x-b^2e^{-x})}{(a^2e^x+b^2e^{-x})^2}dx=\frac{π}{ab}\log \frac{b}{a}$$A







\begin{alignat}{2}
&(3)  \displaystyle\int_0^{\infty} \frac{x^2(e^x-e^{-x}+2)}{(e^x-1)^2}dx\\
&=\displaystyle\int_0^{\infty} \frac{x^2e^{-2x}(e^x-e^{-x}+2)}{(1-e^{-x})^2}dx=\displaystyle\int_0^{\infty} x^2e^{-2x}(e^x-e^{-x}+2)\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty} ne^{-(n-1)x}dx\\
&=\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty} n\left\{\displaystyle\int_0^{\infty} x^2e^{-nx}dx-\displaystyle\int_0^{\infty} x^2e^{-(n+2)x}dx+2\displaystyle\int_0^{\infty} x^2e^{-(n+1)x}dx\right\}\\
&=\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty} n\left\{\frac{2}{n^3}-\frac{2}{(n+2)^3}+2 \cdot \frac{2}{(n+1)^3}\right\}\\
&=2\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^2}-2 \displaystyle\sum_{n=1}^{\infty} \frac{n}{(n+2)^3}+4 \displaystyle\sum_{n=1}^{\infty} \frac{n}{(n+1)^3}\\
&=\frac{π^2}{3}-2 \displaystyle\sum_{n=1}^{\infty} \frac{(n+2)-2}{(n+2)^3}+4 \displaystyle\sum_{n=1}^{\infty} \frac{(n+1)-1}{(n+1)^3}\\
&=\frac{π^2}{3}-2\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{(n+2)^2}+4\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{(n+2)^3}+4\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{(n+1)^2}-4\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{(n+1)^3}\\
&=\frac{π^2}{3}-2\left(-\frac{5}{4}+\frac{π^2}{6}\right)+4 \left(-1+\frac{π^2}{6}\right)-4 \displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}\left\{\frac{1}{(n+1)^3}-\frac{1}{(n+2)^3}\right\}\\
&=\frac{π^2}{3}+\frac{5}{2}-\frac{π^2}{3}-4+\frac{2}{3}π^2-4 \cdot \frac{1}{2^3}=\frac{2}{3}π^2-2
\end{alignat}以上より$$\displaystyle\int_0^{\infty} \frac{x^2(e^x-e^{-x}+2)}{(e^x-1)^2}dx=\frac{2}{3}π^2-2$$

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