x^{2m}/(ax^2+b)^n[0,∞]などの定積分

\begin{alignat}{2}
&(1)  \displaystyle\int_0^{\infty} \frac{x^{2m}}{(ax^2+b)^n}dx=\frac{(2m-1)!!(2n-m-3)!!}{(2n-2)!!} \cdot \frac{π}{2a^mb^{n-m-1}\sqrt{ab}}\\
&(2)  \displaystyle\int_0^{\infty} \frac{x^{2m+1}}{(ax^2+b)^n}dx=\frac{m!(n-m-2)!}{(n-1)!}\cdot \frac{1}{2a^{m+1}b^{n-m-1}}\\
\end{alignat}ただし、全て \(a,b \gt 0,\,n,m \in \mathrm{N},\,n \gt m\)








<証明>

どちらも \(\displaystyle x^2=\frac{b}{a}t \) と置きます。\(\displaystyle \left(dx=\sqrt{\frac{b}{a}}\cdot \frac{1}{2\sqrt{t}}dt\right)\)

\begin{alignat}{2}
(1)  \displaystyle\int_0^{\infty} \frac{x^{2m}}{(ax^2+b)^n}dx&=\displaystyle\int_0^{\infty} \frac{\left(\frac{b}{a}t\right)^m}{(bt+b)^n} \cdot \sqrt{\frac{b}{a}} \cdot \frac{1}{2\sqrt{t}}dt\\
&=\left(\frac{b}{a}\right)^m \cdot \frac{1}{b^n} \cdot \frac{1}{2}\sqrt{\frac{b}{a}}\displaystyle\int_0^{\infty} \frac{t^{m-\frac{1}{2}}}{(t+1)^n}dt\\
&=\frac{1}{2a^mb^{n-m-1}\sqrt{ab}}B\left(m+\frac{1}{2},n-m-\frac{1}{2}\right)\\
\end{alignat}ベータ関数について計算します。
\begin{alignat}{2}
B\left(m+\frac{1}{2},n-m-\frac{1}{2}\right)&=\frac{Γ\left(m+\frac{1}{2}\right)Γ\left(n-m-\frac{1}{2}\right)}{Γ(n)}\\
&=\frac{Γ\left(m+\frac{1}{2}\right)}{Γ(n)} \cdot \frac{Γ\left(n-m+\frac{1}{2}\right)}{n-m-\frac{1}{2}}\\
&=\frac{1}{(n-1)!} \cdot \frac{(2m-1)!!}{2^m}\sqrt{π}\cdot \frac{1}{n-m-\frac{1}{2}} \cdot \frac{(2n-m-1)!!}{2^{n-m}}\sqrt{π}\\
&=\frac{1}{(n-1)!} \cdot \frac{(2m-1)!! \cdot π}{2n-2m-1}\cdot \frac{(2n-m-1)!!}{2^{n-1}}\\
&=\frac{(2m-1)!!(2n-m-3)!!}{(2n-2)!!} \cdot π
\end{alignat}以上より$$\displaystyle\int_0^{\infty} \frac{x^{2m}}{(ax^2+b)^n}dx=\frac{(2m-1)!!(2n-m-3)!!}{(2n-2)!!} \cdot \frac{π}{2a^mb^{n-m-1}\sqrt{ab}}$$






\begin{alignat}{2}
(2)  \displaystyle\int_0^{\infty} \frac{x^{2m+1}}{(ax^2+b)^n}dx&=\displaystyle\int_0^{\infty} \frac{\left(\frac{b}{a}t\right)^{m+\frac{1}{2}}}{(bt+b)^n} \cdot \sqrt{\frac{b}{a}} \cdot \frac{1}{2\sqrt{t}}dt\\
&=\left(\frac{b}{a}\right)^{m+\frac{1}{2}} \cdot \frac{1}{b^n} \cdot \frac{1}{2}\sqrt{\frac{b}{a}}\displaystyle\int_0^{\infty} \frac{t^{m}}{(t+1)^n}dt\\
&=\frac{1}{2a^{m+1}b^{n-m-1}}B\left(m+1,n-m-1\right)\\
&=\frac{1}{2a^{m+1}b^{n-m-1}} \cdot \frac{Γ(m+1)Γ(n-m-1)}{Γ(n)}\\
&=\frac{m!(n-m-2)!}{(n-1)!}\cdot \frac{1}{2a^{m+1}b^{n-m-1}}
\end{alignat}以上より$$\displaystyle\int_0^{\infty} \frac{x^{2m+1}}{(ax^2+b)^n}dx=\frac{m!(n-m-2)!}{(n-1)!}\cdot \frac{1}{2a^{m+1}b^{n-m-1}}$$

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