x^{2m+1}sinhx/(coshx-cos2aπ)^2[0,∞]などの定積分

\begin{alignat}{2}
&(1)  \displaystyle\int_0^{\infty} \frac{x^{2m}}{\cosh x-\cos 2aπ}dx=2(2m)!\csc 2aπ \displaystyle\sum_{n=1}^{\infty} \frac{\sin 2anπ}{n^{2m+1}}\\
&(2)  \displaystyle\int_0^{\infty} \frac{x^{2m}}{\cosh x+1}dx=2(2^{2m-1}-1)π^{2m}|B_{2m}|\\
&(3)  \displaystyle\int_0^{\infty} \frac{x^{2m+1}\sinh x}{(\cosh x-\cos 2aπ)^2}dx=2(2m+1)!\csc 2aπ \displaystyle\sum_{n=1}^{\infty} \frac{\sin 2anπ}{n^{2m+1}}\\
&(4)  \displaystyle\int_0^{\infty} \frac{x^{2m+1}\sinh x}{(\cosh x+1)^2}dx=2(2m+1)(2^{2m-1}-1)π^{2m}|B_{2m}|\\
\end{alignat}ただし、全て \(\displaystyle 0 \lt a \lt 1, a≠\frac{1}{2}\)









<証明>

\((1)\) 次の定積分の結果を用います。(詳細はこちらです)$$\displaystyle\int_0^{\infty} \frac{x^{μ-1}}{\cosh x-\cos t}dx=\frac{2Γ(μ)}{\sin t}\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty} \frac{\sin nt}{n^μ}  (μ \gt 0, 0 \lt t \lt 2π, t≠π)$$この式で \(\displaystyle t=2aπ \left(0 \lt a \lt 1, a≠\frac{1}{2}\right), μ=2m+1\) とします。$$\displaystyle\int_0^{\infty} \frac{x^{2m}}{\cosh x-\cos 2aπ}dx=\frac{2Γ(2m+1)}{\sin 2aπ}\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty} \frac{\sin 2anπ}{n^{2m+1}}$$以上より$$\displaystyle\int_0^{\infty} \frac{x^{2m}}{\cosh x-\cos 2aπ}dx=2(2m)!\csc 2aπ \displaystyle\sum_{n=1}^{\infty} \frac{\sin 2anπ}{n^{2m+1}}$$






\((2)\) \((1)\) の式で \(\displaystyle a \to \frac{1}{2}\) とします。$$\displaystyle\int_0^{\infty} \frac{x^{2m}}{\cosh x+1}dx=2(2m)! \displaystyle\sum_{n=1}^{\infty} \left\{\displaystyle\lim_{a \to \frac{1}{2}} \frac{\sin (2anπ)}{\sin (2aπ)}\right\}\frac{1}{n^{2m+1}}$$極限の計算はロピタルの定理を用います。$$\displaystyle\lim_{a \to \frac{1}{2}} \frac{\sin (2anπ)}{\sin (2aπ)}=\displaystyle\lim_{a \to \frac{1}{2}} \frac{2nπ \cos (2anπ)}{2π\cos (2aπ)}=n \cdot \frac{\cos nπ}{\cos π}=n(-1)^{n-1}$$となるので
\begin{alignat}{2}
&\displaystyle\int_0^{\infty} \frac{x^{2m}}{\cosh x+1}dx=\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty} n(-1)^{n-1} \cdot \frac{1}{n^{2m+1}}=2(2m)!\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^{n-1}}{n^{2m}}\\
&               =2(2m)!η(2m)=2(2m)!(1-2^{1-2m})ζ(2m)\\
&               =2(2m)!(1-2^{1-2m})\cdot \frac{(2π)^{2m}|B_{2m}|}{2 \cdot (2m)!}\\
&               =(2^{2m}-2)π^{2m}|B_{2m}|=2(2^{2m-1}-1)π^{2m}|B_{2m}|
\end{alignat}以上より$$\displaystyle\int_0^{\infty} \frac{x^{2m}}{\cosh x+1}dx=2(2^{2m-1}-1)π^{2m}|B_{2m}|$$







\((3)\) 部分積分を行い \((1)\) の式を代入します。
\begin{alignat}{2}
&  \displaystyle\int_0^{\infty} \frac{x^{2m+1}\sinh x}{(\cosh x-\cos 2aπ)^2}dx\\
&=\left[-\frac{x^{2m}}{\cosh x-\cos 2aπ}\right]_0^{\infty} +\displaystyle\int_0^{\infty} \frac{(2m+1)x^{2m}}{\cosh x-\cos 2aπ}dx\\
&=(2m+1)\displaystyle\int_0^{\infty} \frac{x^{2m}}{\cosh x-\cos 2aπ}dx\\
&=(2m+1) \cdot 2(2m)!\csc 2aπ \displaystyle\sum_{n=1}^{\infty} \frac{\sin 2anπ}{n^{2m+1}}\\
&=2(2m+1)!\csc 2aπ \displaystyle\sum_{n=1}^{\infty} \frac{\sin 2anπ}{n^{2m+1}}\\
\end{alignat}以上より$$\displaystyle\int_0^{\infty} \frac{x^{2m+1}\sinh x}{(\cosh x-\cos 2aπ)^2}dx=2(2m+1)!\csc 2aπ \displaystyle\sum_{n=1}^{\infty} \frac{\sin 2anπ}{n^{2m+1}}$$







\((4)\) 部分積分を行い \((2)\) の式を代入します。
\begin{alignat}{2}
&  \displaystyle\int_0^{\infty} \frac{x^{2m+1}\sinh x}{(\cosh x+1)^2}dx\\
&=\left[-\frac{x^{2m}}{\cosh x+1}\right]_0^{\infty} +\displaystyle\int_0^{\infty} \frac{(2m+1)x^{2m}}{\cosh x+1}dx\\
&=(2m+1)\displaystyle\int_0^{\infty} \frac{x^{2m}}{\cosh x+1}dx\\
&=(2m+1) \cdot 2(2^{2m-1}-1)π^{2m}|B_{2m}|\\
&=2(2m+1)(2^{2m-1}-1)π^{2m}|B_{2m}|\\
\end{alignat}以上より$$\displaystyle\int_0^{\infty} \frac{x^{2m+1}\sinh x}{(\cosh x+1)^2}dx=2(2m+1)(2^{2m-1}-1)π^{2m}|B_{2m}|$$

コメントを残す

メールアドレスが公開されることはありません。 * が付いている欄は必須項目です