x^{2n-1}√(1-x^2)[0,1]などの定積分

\begin{alignat}{2}
&(1) \displaystyle\int_0^1 x^{2n-1}\sqrt{1-x^2}dx=\frac{(2n-2)!!}{(2n+1)!!}\\
&(2) \displaystyle\int_0^1 x^{2n}\sqrt{1-x^2}dx=\frac{(2n-1)!!}{(2n+2)!!} \cdot \frac{π}{2}\\
&(3) \displaystyle\int_0^1 \frac{x^{2n-1}}{\sqrt{1-x^2}}dx=\frac{(2n-2)!!}{(2n-1)!!}\\
&(4) \displaystyle\int_0^1 \frac{x^{2n}}{\sqrt{1-x^2}}dx=\frac{(2n-1)!!}{(2n)!!} \cdot \frac{π}{2}
\end{alignat}ただし、全て \(n \in \mathrm{N}\)







<証明>

全て \(x^2=t\) と置きます。\((2xdx=dt)\)
\begin{alignat}{2}
&(1) \displaystyle\int_0^1 x^{2n-1}\sqrt{1-x^2}dx=\displaystyle\int_0^1 t^{n-\frac{1}{2}}(1-t)^{\frac{1}{2}} \cdot \frac{1}{2\sqrt{t}}dt\\
&                     =\frac{1}{2}\displaystyle\int_0^1 t^{n-1}(1-t)^{\frac{1}{2}}dt=\frac{1}{2}B\left(n,\frac{3}{2}\right)\\
&                     =\frac{1}{2}\cdot \frac{Γ(n)Γ\left(\frac{3}{2}\right)}{Γ\left(n+\frac{3}{2}\right)}=\frac{(n-1)!}{2} \cdot \frac{\sqrt{π}}{2} \cdot \frac{2^{n+1}}{(2n+1)!!\sqrt{π}}\\
&                     =\frac{2^{n-1}(n-1)!}{(2n+1)!!}=\frac{(2n-2)!!}{(2n+1)!!}
\end{alignat}



\begin{alignat}{2}
&(2) \displaystyle\int_0^1 x^{2n}\sqrt{1-x^2}dx=\displaystyle\int_0^1 t^n (1-t)^{\frac{1}{2}} \cdot \frac{1}{2\sqrt{t}}dt\\
&                   =\frac{1}{2}\displaystyle\int_0^1 t^{n-\frac{1}{2}}(1-t)^{\frac{1}{2}}dt=\frac{1}{2}B\left(n+\frac{1}{2},\frac{3}{2}\right)\\
&                   =\frac{1}{2}\cdot \frac{Γ\left(n+\frac{1}{2}\right)Γ\left(\frac{3}{2}\right)}{Γ(n+2)}=\frac{1}{2} \cdot \frac{(2n-1)!!}{2^n} \cdot \sqrt{π} \cdot \frac{\sqrt{π}}{2} \cdot \frac{1}{(n+1)!}\\
&                   =\frac{(2n-1)!!}{2^{n+1}(n+1)!} \cdot \frac{π}{2}=\frac{(2n-1)!!}{(2n+2)!!} \cdot \frac{π}{2}
\end{alignat}







\begin{alignat}{2}
&(3) \displaystyle\int_0^1 \frac{x^{2n-1}}{\sqrt{1-x^2}}dx=\displaystyle\int_0^1 t^{n-\frac{1}{2}} (1-t)^{-\frac{1}{2}} \cdot \frac{1}{2\sqrt{t}}dt=\frac{1}{2}\displaystyle\int_0^1 t^{n-1}(1-t)^{-\frac{1}{2}}dt\\
&                 =\frac{1}{2}B\left(n,\frac{1}{2}\right)=\frac{1}{2}\cdot \frac{Γ\left(n\right)Γ\left(\frac{1}{2}\right)}{Γ\left(n+\frac{1}{2}\right)}\\
&                 =\frac{\sqrt{π}}{2}\cdot (n-1)! \cdot \frac{2^n}{(2n-1)!!} \cdot \frac{1}{\sqrt{π}}=\frac{(2n-2)!!}{(2n-1)!!}
\end{alignat}







\begin{alignat}{2}
&(4) \displaystyle\int_0^1 \frac{x^{2n}}{\sqrt{1-x^2}}dx=\displaystyle\int_0^1 t^n (1-t)^{-\frac{1}{2}} \cdot \frac{1}{2\sqrt{t}}dt=\frac{1}{2}\displaystyle\int_0^1 t^{n-\frac{1}{2}}(1-t)^{-\frac{1}{2}}dt\\
&                 =\frac{1}{2}B\left(n+\frac{1}{2},\frac{1}{2}\right)=\frac{1}{2}\cdot \frac{Γ\left(n+\frac{1}{2}\right)Γ\left(\frac{1}{2}\right)}{Γ\left(n+1\right)}\\
&                 =\frac{\sqrt{π}}{2} \cdot \frac{1}{n!} \cdot \frac{(2n-1)!!}{2^n}\sqrt{π}=\frac{(2n-1)!!}{(2n)!!} \cdot \frac{π}{2}
\end{alignat}

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