x^{2n+1}e^{-μx}/(b^2+x^2)[0,∞]などの定積分

\begin{alignat}{2}
&(1)  \displaystyle\int_0^{\infty} \frac{x^{2n}e^{-μx}}{b^2+x^2}dx\\
&=(-1)^n b^{2n-1}\{\mathrm{ci}(bμ)\sin bμ-\mathrm{si}(bμ)\cos bμ\}+\frac{1}{μ^{2n-1}}\displaystyle\sum_{k=1}^n (2n-2k)!(-b^2μ^2)^{k-1}\\
&(2)  \displaystyle\int_0^{\infty} \frac{x^{2n+1}e^{-μx}}{b^2+x^2}dx\\
&=(-1)^{n–1} b^{2n}\{\mathrm{ci}(bμ)\cos bμ+\mathrm{si}(bμ)\sin bμ\}+\frac{1}{μ^{2n}}\displaystyle\sum_{k=1}^n (2n-2k+1)!(-b^2μ^2)^{k-1}\\
\end{alignat}ただし、全て \(μ,b \gt 0\)








<証明>

次の定積分の結果を用います。(詳細はこちらです)
\begin{alignat}{2}
&(A)  \displaystyle\int_0^{\infty} \frac{e^{-μx}}{b^2+x^2}dx=\frac{1}{b}\{\mathrm{ci}(bμ)\sin bμ-\mathrm{si}(bμ)\cos bμ\}\\
&(B)  \displaystyle\int_0^{\infty} \frac{xe^{-μx}}{b^2+x^2}dx=-\mathrm{ci}(bμ)\cos bμ-\mathrm{si}(bμ)\sin bμ\\
\end{alignat}ただし、全て \(μ,b \gt 0\)




\((1)(2)\) \((A)\) の式を \(I(μ)\) と置きます。$$I(μ)=\displaystyle\int_0^{\infty} \frac{e^{-μx}}{b^2+x^2}dx=\frac{1}{b}\{\mathrm{ci}(bμ)\sin bμ-\mathrm{si}(bμ)\cos bμ\}$$\(I(μ)\) を \(μ\) で微分します。\((B)\) の式を用います。$$I’(μ)=-\displaystyle\int_0^{\infty} \frac{xe^{-μx}}{b^2+x^2}dx=\mathrm{ci}(bμ)\cos bμ+\mathrm{si}(bμ)\sin bμ$$さらに \(μ\) で微分します。
\begin{alignat}{2}
&I’’(μ)=(-1)^2\displaystyle\int_0^{\infty} \frac{x^2e^{-μx}}{b^2+x^2}dx\\
&    =\frac{\cos bμ}{μ} \cdot \cos bμ-\mathrm{ci}(bμ) \cdot b \sin bμ+\frac{\sin bμ}{μ} \cdot \sin bμ+\mathrm{si}(bμ)\cdot b \cos bμ\\
&    =-b\{\mathrm{ci}(bμ)\sin bμ-\mathrm{si}(bμ)\cos bμ\}+\frac{1}{μ}\\
\end{alignat}左の項について \(I(μ)\) と同じ形の式が現れるので、次のように書けます。$$I’’(μ)=-b^2I(μ)+\frac{1}{μ}$$繰り返し \(μ\) で微分していきます。
\begin{alignat}{2}
&I^{(3)}(μ)=-b^2I’(μ)-\frac{1}{μ^2}\\
&I^{(4)}(μ)=-b^2I^{(2)}(μ)+\frac{2}{μ^2}=-b^2\left\{-b^2I(μ)+\frac{1}{μ}\right\}=b^4I(μ)-\frac{b^2}{μ}+\frac{2}{μ^3}\\
&I^{(5)}(μ)=b^4I’(μ)+\frac{b^2}{μ^2}-\frac{3!}{μ^4}\\
&I^{(6)}(μ)=b^4I^{(2)}(μ)-\frac{2b^2}{μ^3}+\frac{4!}{μ^5}=b^4\left\{-b^2I(μ)+\frac{1}{μ}\right\}-\frac{2b^2}{μ^3}+\frac{4!}{μ^5}=-b^6I(μ)+\frac{b^4}{μ}-\frac{2b^2}{μ^3}+\frac{4!}{μ^5}\\
&I^{(7)}(μ)=-b^6I’(μ)-\frac{b^4}{μ^2}+\frac{3!b^2}{μ^4}-\frac{5!}{μ^6}\\
&                 \cdots\\
\end{alignat}よって \(I^{(2n)}(μ)\) について
\begin{alignat}{2}
&I^{(2n)}(μ)=(-1)^nb^{2n}I(μ)+\frac{(2n-2)!b^0}{μ^{2n-1}}-\frac{(2n-4)!b^2}{μ^{2n-3}}+ \cdots +\frac{(-1)^{n-2}\cdot 2!b^{2n-4}}{μ^{3}}+\frac{(-1)^{n-1}\cdot 0!b^{2n-2}}{μ}\\
&      =(-1)^nb^{2n}I(μ)+\displaystyle\sum_{k=1}^{\infty} \frac{(-1)^{k-1}(2n-2k)!b^{2k-2}}{μ^{2n-2k+1}}\\
&      =(-1)^n b^{2n} \cdot \frac{1}{b}\{\mathrm{ci}(bμ)\sin bμ-\mathrm{si}(bμ)\cos bμ\} +\frac{1}{μ^{2n-1}}\displaystyle\sum_{k=1}^{\infty} (-1)^{k-1}(2n-2k)!b^{2k-2}μ^{2k-2}\\
&      =(-1)^n b^{2n-1}\{\mathrm{ci}(bμ)\sin bμ-\mathrm{si}(bμ)\cos bμ\}+\frac{1}{μ^{2n-1}}\displaystyle\sum_{k=1}^n (2n-2k)!(-b^2μ^2)^{k-1}\\
\end{alignat}\(I^{(2n)}(μ)\) は次式であるので$$I^{(2n)}(μ)=(-1)^{2n}\displaystyle\int_0^{\infty} \frac{x^{2n}e^{-μx}}{b^2+x^2}dx=\displaystyle\int_0^{\infty} \frac{x^{2n}e^{-μx}}{b^2+x^2}dx$$以上より$$\displaystyle\int_0^{\infty} \frac{x^{2n}e^{-μx}}{b^2+x^2}dx=(-1)^n b^{2n-1}\{\mathrm{ci}(bμ)\sin bμ-\mathrm{si}(bμ)\cos bμ\}+\frac{1}{μ^{2n-1}}\displaystyle\sum_{k=1}^n (2n-2k)!(-b^2μ^2)^{k-1}$$

さらに、この式の両辺を \(μ\) で微分します。
\begin{alignat}{2}
&-\displaystyle\int_0^{\infty} \frac{x^{2n+1}e^{-μx}}{b^2+x^2}dx=(-1)^n b^{2n-1} \cdot b\{\mathrm{ci}(bμ)\cos bμ+\mathrm{si}(bμ)\sin bμ\}+\displaystyle\sum_{k=1}^n (2n-2k)!(-b^2)^{k-1}(2k-2n-1)μ^{2k-2n-2}\\
&                  =(-1)^n b^{2n}\{\mathrm{ci}(bμ)\cos bμ+\mathrm{si}(bμ)\sin bμ\}-\displaystyle\sum_{k=1}^n (2n-2k+1)!(-b^2)^{k-1}μ^{2k-2n-2}\\
&                  =(-1)^n b^{2n}\{\mathrm{ci}(bμ)\cos bμ+\mathrm{si}(bμ)\sin bμ\}-\frac{1}{μ^{2n}}\displaystyle\sum_{k=1}^n (2n-2k+1)!(-b^2)^{k-1}μ^{2k-2}\\
\end{alignat}以上より$$\displaystyle\int_0^{\infty} \frac{x^{2n+1}e^{-μx}}{b^2+x^2}dx=(-1)^{n–1} b^{2n}\{\mathrm{ci}(bμ)\cos bμ+\mathrm{si}(bμ)\sin bμ\}+\frac{1}{μ^{2n}}\displaystyle\sum_{k=1}^n (2n-2k+1)!(-b^2μ^2)^{k-1}$$


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