x^{2n}logx/√(1-x^2)[0,1]などの定積分

\begin{alignat}{2}
&(1) \displaystyle\int_0^1 \frac{x^{2n}\log x}{\sqrt{1-x^2}}dx=\frac{π}{2}\cdot \frac{(2n-1)!!}{(2n)!!}\left\{-\log 2+\displaystyle\sum_{k=1}^{2n} \frac{(-1)^{k-1}}{k}\right\}\\
&(2) \displaystyle\int_0^1 \frac{x^{2n+1}\log x}{\sqrt{1-x^2}}dx=\frac{(2n)!!}{(2n+1)!!} \left\{\log 2+\displaystyle\sum_{k=1}^{2n+1}\frac{(-1)^k}{k} \right\}\\
\end{alignat}ただし \(n \in \mathrm{N}\) だが \((2)\) は \(n \geq 0\)







<証明>

\((1)\) 次の定積分を \(I(a)\) と置きます。$$I(a)=\displaystyle\int_0^1 \frac{x^{2n+a}}{\sqrt{1-x^2}}dx$$\(I(a)\) を \(a\) で微分します。$$I’(a)=\displaystyle\int_0^1 \frac{(\log x)x^{2n+a}}{\sqrt{1-x^2}}dx$$\(a=0\) のとき$$I’(0)=\displaystyle\int_0^1 \frac{x^{2n}\log x}{\sqrt{1-x^2}}dx$$となるので \(I’(0)\) を求めます。

\(x^2=t\) と置きます。\((2xdx=dt)\)
\begin{alignat}{2}
&I(a)=\displaystyle\int_0^1 x^{2n+a}(1-x^2)^{-\frac{1}{2}}dx=\displaystyle\int_0^1 t^{n+\frac{a}{2}}(1-t)^{-\frac{1}{2}} \cdot \frac{1}{2\sqrt{t}}dt\\
&   =\frac{1}{2}\displaystyle\int_0^1 t^{n+\frac{a}{2}-\frac{1}{2}}(1-t)^{-\frac{1}{2}}dt=\frac{1}{2}B\left(n+\frac{a}{2}+\frac{1}{2},\frac{1}{2}\right)\\
&   =\frac{1}{2}\cdot \frac{Γ\left(n+\frac{a}{2}+\frac{1}{2}\right)Γ\left(\frac{1}{2}\right)}{Γ\left(n+\frac{a}{2}+1\right)}=\frac{\sqrt{π}}{2}\cdot \frac{Γ\left(n+\frac{a}{2}+\frac{1}{2}\right)}{Γ\left(n+\frac{a}{2}+1\right)}
\end{alignat}\(I(a)\) を \(a\) で微分します。$$I’(a)=\frac{\sqrt{π}}{2}\cdot \frac{\frac{1}{2}Γ’\left(n+\frac{a}{2}+\frac{1}{2}\right)Γ\left(n+\frac{a}{2}+1\right)-\frac{1}{2}Γ\left(n+\frac{a}{2}+\frac{1}{2}\right)Γ’\left(n+\frac{a}{2}+1\right)}{\left\{Γ\left(n+\frac{a}{2}+1\right)\right\}^2}$$\(a=0\) とすると
\begin{alignat}{2}
&I’(0)=\frac{\sqrt{π}}{4}\cdot \frac{Γ’\left(n+\frac{1}{2}\right)Γ\left(n+1\right)-Γ\left(n+\frac{1}{2}\right)Γ’\left(n+1\right)}{\left\{Γ\left(n+1\right)\right\}^2}\\
&    =\frac{\sqrt{π}}{4}\cdot \frac{Γ\left(n+\frac{1}{2}\right)}{Γ(n+1)}\left\{\frac{Γ’\left(n+\frac{1}{2}\right)}{Γ\left(n+\frac{1}{2}\right)}-\frac{Γ’(n+1)}{Γ(n+1)}\right\}\\
&    =\frac{\sqrt{π}}{4}\cdot \frac{(2n-1)!!}{2^n}\sqrt{π} \cdot \frac{1}{n!}\left\{ψ\left(n+\frac{1}{2}\right)-ψ(n+1)\right\}\\
&    =\frac{π}{4} \cdot \frac{(2n-1)!!}{(2n)!!} \left\{-γ-2 \log 2 +2 \displaystyle\sum_{k=0}^{n-1} \frac{1}{2k+1}-\left(\displaystyle\sum_{k=1}^n\frac{1}{k}-γ \right)\right\}\\
&    =\frac{π}{4} \cdot \frac{(2n-1)!!}{(2n)!!}\left\{2\left(1+\frac{1}{3}+\frac{1}{5}+ \cdots +\frac{1}{2n-1} \right)-2\left(\frac{1}{2}+\frac{1}{4}+\frac{1}{6}+ \cdots +\frac{1}{2n}\right)-2 \log 2\right\}\\
&    =\frac{π}{4} \cdot \frac{(2n-1)!!}{(2n)!!}\left\{2\left(1-\frac{1}{2}+\frac{1}{3}- \cdots +\frac{1}{2n-1}-\frac{1}{2n} \right)-2 \log 2\right\}\\
&    =\frac{π}{4} \cdot \frac{(2n-1)!!}{(2n)!!}\left\{2\displaystyle\sum_{k=1}^{2n} \frac{(-1)^{k-1}}{k}-2 \log 2\right\}\\
&    =\frac{π}{2}\cdot \frac{(2n-1)!!}{(2n)!!}\left\{\displaystyle\sum_{k=1}^{2n} \frac{(-1)^{k-1}}{k}-\log 2\right\}
\end{alignat}以上より$$\displaystyle\int_0^1 \frac{x^{2n}\log x}{\sqrt{1-x^2}}dx=\frac{π}{2}\cdot \frac{(2n-1)!!}{(2n)!!}\left\{-\log 2+ \displaystyle\sum_{k=1}^{2n} \frac{(-1)^{k-1}}{k}\right\}$$







\((2)\) 次の定積分を \(I(a)\) と置きます。$$I(a)=\displaystyle\int_0^1 \frac{x^{2n+a+1}}{\sqrt{1-x^2}}dx$$\(I(a)\) を \(a\) で微分します。$$I’(a)=\displaystyle\int_0^1 \frac{(\log x)x^{2n+a+1}}{\sqrt{1-x^2}}dx$$\(a=0\) のとき$$I’(0)=\displaystyle\int_0^1 \frac{x^{2n+1}\log x}{\sqrt{1-x^2}}dx$$となるので \(I’(0)\) を求めます。

\(x^2=t\) と置きます。\((2xdx=dt)\)
\begin{alignat}{2}
&I(a)=\displaystyle\int_0^1 x^{2n+a+1}(1-x^2)^{-\frac{1}{2}}dx=\displaystyle\int_0^1 t^{n+\frac{a}{2}+\frac{1}{2}}(1-t)^{-\frac{1}{2}} \cdot \frac{1}{2\sqrt{t}}dt\\
&   =\frac{1}{2}\displaystyle\int_0^1 t^{n+\frac{a}{2}}(1-t)^{-\frac{1}{2}}dt=\frac{1}{2}B\left(n+\frac{a}{2}+1,\frac{1}{2}\right)\\
&   =\frac{1}{2}\cdot \frac{Γ\left(n+\frac{a}{2}+1\right)Γ\left(\frac{1}{2}\right)}{Γ\left(n+\frac{a}{2}+\frac{3}{2}\right)}=\frac{\sqrt{π}}{2}\cdot \frac{Γ\left(n+\frac{a}{2}+1\right)}{Γ\left(n+\frac{a}{2}+\frac{3}{2}\right)}
\end{alignat}\(I(a)\) を \(a\) で微分します。$$I’(a)=\frac{\sqrt{π}}{2}\cdot \frac{\frac{1}{2}Γ’\left(n+\frac{a}{2}+1\right)Γ\left(n+\frac{a}{2}+\frac{3}{2}\right)-\frac{1}{2}Γ\left(n+\frac{a}{2}+1\right)Γ’\left(n+\frac{a}{2}+\frac{3}{2}\right)}{\left\{Γ\left(n+\frac{a}{2}+\frac{3}{2}\right)\right\}^2}$$\(a=0\) とすると
\begin{alignat}{2}
&I’(0)=\frac{\sqrt{π}}{4}\cdot \frac{Γ’\left(n+1\right)Γ\left(n+\frac{3}{2}\right)-Γ\left(n+1\right)Γ’\left(n+\frac{3}{2}\right)}{\left\{Γ\left(n+\frac{3}{2}\right)\right\}^2}\\
&    =\frac{\sqrt{π}}{4}\cdot \frac{Γ\left(n+1\right)}{Γ\left(n+\frac{3}{2}\right)}\left\{\frac{Γ’(n+1)}{Γ(n+1)}-\frac{Γ’\left(n+\frac{3}{2}\right)}{Γ\left(n+\frac{3}{2}\right)}\right\}\\
&    =\frac{\sqrt{π}}{4}\cdot n! \cdot \frac{1}{n+\frac{1}{2}} \cdot \frac{2^n}{(2n-1)!!} \cdot \frac{1}{\sqrt{π}} \left\{ψ(n+1)-ψ\left(n+\frac{3}{2}\right)\right\}\\
&    =\frac{1}{2} \cdot \frac{(2n)!!}{(2n+1)!!} \left[\displaystyle\sum_{k=1}^n \frac{1}{k} -γ-\left\{ψ\left(n+\frac{1}{2}\right)+\frac{2}{2n+1}\right\}\right]\\
&    =\frac{1}{2} \cdot \frac{(2n)!!}{(2n+1)!!} \left\{\displaystyle\sum_{k=1}^n \frac{1}{k} -γ-\frac{2}{2n+1}-\left(-γ-2 \log 2 +2 \displaystyle\sum_{k=0}^{n-1} \frac{1}{2k+1}\right)\right\}\\
&    =\frac{1}{2} \cdot \frac{(2n)!!}{(2n+1)!!} \left\{2\left(1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+ \cdots +\frac{1}{2n}\right)-2\left(1+\frac{1}{3}+\frac{1}{5}+ \cdots +\frac{1}{2n-1}\right)-\frac{2}{2n+1}+2 \log 2\right\}\\
&    =\frac{1}{2} \cdot \frac{(2n)!!}{(2n+1)!!} \left\{-2\left(1-\frac{1}{2}+\frac{1}{3}-\cdots +\frac{1}{2n-1}-\frac{1}{2n}+\frac{1}{2n+1}\right)+2 \log 2\right\}\\
&    =\frac{1}{2} \cdot \frac{(2n)!!}{(2n+1)!!} \left\{-2\displaystyle\sum_{k=1}^{2n+1} \frac{(-1)^{k-1}}{k}+2 \log 2\right\}\\
&    =\frac{(2n)!!}{(2n+1)!!} \left\{\log 2+\displaystyle\sum_{k=1}^{2n+1}\frac{(-1)^k}{k} \right\}
\end{alignat}以上より$$\displaystyle\int_0^1 \frac{x^{2n+1}\log x}{\sqrt{1-x^2}}dx=\frac{(2n)!!}{(2n+1)!!} \left\{\log 2+\displaystyle\sum_{k=1}^{2n+1}\frac{(-1)^k}{k} \right\}$$


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