x^3(1-e^{-nx})/sinh^2(x/2)[0,∞]などの定積分

\begin{alignat}{2}
&(1)  \displaystyle\int_0^{\infty} \frac{x^3(1-e^{-nx})}{\sinh^2 \frac{x}{2}}dx=\frac{4}{15}nπ^2-24 \displaystyle\sum_{k=1}^{n-1} \frac{n-k}{k^4}\\
&(2)  \displaystyle\int_0^{\infty} \frac{x^3\{1-(-1)^n\}e^{-nx}}{\cosh^2 \frac{x}{2}}dx=\frac{7}{30}nπ^2+24 \displaystyle\sum_{k=1}^{n-1} \frac{(-1)^k(n-k)}{k^4}\\
\end{alignat}ただし、全て \(n \in \mathrm{N}\)









<証明>

次のように双曲線関数を変形します。
\begin{alignat}{2}
(A)  \frac{1}{\sinh^2 \frac{x}{2}}&=\left(\frac{2}{e^{\frac{x}{2}}-e^{-\frac{x}{2}}}\right)^2=\left(\frac{2e^{-\frac{x}{2}}}{1-e^{-x}}\right)^2=\frac{4e^{-x}}{(1-e^{-x})^2}\\
&=4e^{-x} \displaystyle\sum_{k=1}^{\infty} ke^{-(k-1)x}=4 \displaystyle\sum_{k=1}^{\infty} ke^{-kx}
&\\
(B)  \frac{1}{\cosh^2 \frac{x}{2}}&=\left(\frac{2}{e^{\frac{x}{2}}+e^{-\frac{x}{2}}}\right)^2=\left(\frac{2e^{-\frac{x}{2}}}{1+e^{-x}}\right)^2=\frac{4e^{-x}}{(1+e^{-x})^2}\\
&=4e^{-x} \displaystyle\sum_{k=1}^{\infty}(-1)^{k-1} ke^{-(k-1)x}=4 \displaystyle\sum_{k=1}^{\infty} (-1)^{k-1}ke^{-kx}
\end{alignat} 





\((1)\) \((A)\) の式を代入します。
\begin{alignat}{2}
\displaystyle\int_0^{\infty} \frac{x^3(1-e^{-nx})}{\sinh^2 \frac{x}{2}}dx&=\displaystyle\int_0^{\infty} x^3(1-e^{-nx})\left(4 \displaystyle\sum_{k=1}^{\infty} ke^{-kx}\right)dx\\
&=4\displaystyle\sum_{k=1}^{\infty} k \displaystyle\int_0^{\infty} x^3(1-e^{-nx})e^{-kx}dx\\
&=4\displaystyle\sum_{k=1}^{\infty} k \left\{\displaystyle\int_0^{\infty} x^3e^{-kx}dx-\displaystyle\int_0^{\infty} x^3e^{-(n+k)x}dx\right\}\\
&=4 \displaystyle\sum_{k=1}^{\infty}k \left\{\frac{6}{k^4}-\frac{6}{(n+k)^4}\right\}=24 \displaystyle\sum_{k=1}^{\infty} \left\{\frac{1}{k^3}-\frac{k}{(n+k)^4}\right\}\\
&=24 \displaystyle\sum_{k=1}^{\infty} \left\{\frac{1}{k^3}-\frac{n+k-n}{(n+k)^4}\right\}=24 \displaystyle\sum_{k=1}^{\infty} \left\{\frac{1}{k^3}-\frac{1}{(n+k)^3}+\frac{n}{(n+k)^4}\right\}\\
&=24\left\{\displaystyle\sum_{k=1}^{\infty} \frac{1}{k^3}-\displaystyle\sum_{k=1}^{\infty} \frac{1}{(n+k)^3}+n \displaystyle\sum_{k=1}^{\infty} \frac{1}{(n+k)^4}\right\}\\
&=24 \left\{\displaystyle\sum_{k=1}^n \frac{1}{k^3}+n \left(\frac{π^4}{90}-\displaystyle\sum_{k=1}^n \frac{1}{k^4}\right)\right\}\\
&=\frac{4}{15}nπ^2-24 \left(\displaystyle\sum_{k=1}^n \frac{n}{k^4}-\displaystyle\sum_{k=1}^n \frac{1}{k^3}\right)\\
&=\frac{4}{15}nπ^2-24 \displaystyle\sum_{k=1}^{n} \frac{n-k}{k^4}=\frac{4}{15}nπ^2-4 \displaystyle\sum_{k=1}^{n-1} \frac{n-k}{k^4}
\end{alignat}以上より$$\displaystyle\int_0^{\infty} \frac{x^3(1-e^{-nx})}{\sinh^2 \frac{x}{2}}dx=\frac{4}{15}nπ^2-24 \displaystyle\sum_{k=1}^{n-1} \frac{n-k}{k^4}$$








\((2)\) \((B)\) の式を代入します。
\begin{alignat}{2}
\displaystyle\int_0^{\infty} \frac{x^3\{1-(-1)^n\}e^{-nx}}{\cosh^2 \frac{x}{2}}dx&=\displaystyle\int_0^{\infty} x^3\{1-(-1)^ne^{-nx}\}\left\{4 \displaystyle\sum_{k=1}^{\infty} (-1)^{k-1}ke^{-kx}\right\}dx\\
&=4 \displaystyle\sum_{k=1}^{\infty} k(-1)^{k-1} \displaystyle\int_0^{\infty} x^3\{1-(-1)^ne^{-nx}\}e^{-kx}dx\\
&=4 \displaystyle\sum_{k=1}^{\infty} k(-1)^{k-1} \left\{\displaystyle\int_0^{\infty} x^3e^{-kx}dx-(-1)^n \displaystyle\int_0^{\infty} x^3e^{-(n+k)x}dx\right\}\\
&=4 \displaystyle\sum_{k=1}^{\infty} k(-1)^{k-1}\left\{\frac{6}{k^4}-\frac{6(-1)^n}{(n+k)^4}\right\}\\
&=24 \displaystyle\sum_{k=1}^{\infty} (-1)^{k-1}\left\{\frac{1}{k^3}-\frac{k \cdot (-1)^n}{(n+k)^4}\right\}\\
&=24 \displaystyle\sum_{k=1}^{\infty} (-1)^{k-1}\left\{\frac{1}{k^3}-\frac{(n+k-n) \cdot (-1)^n}{(n+k)^4}\right\}\\
&=24 \displaystyle\sum_{k=1}^{\infty} (-1)^{k-1}\left\{\frac{1}{k^3}-\frac{(-1)^n}{(n+k)^3}+\frac{n(-1)^n}{(n+k)^4}\right\}\\
&=24 \left\{\displaystyle\sum_{k=1}^{\infty} \frac{(-1)^{k-1}}{k^3} -\displaystyle\sum_{k=1}^{\infty} \frac{(-1)^{n+k-1}}{(n+k)^3}+n\displaystyle\sum_{k=1}^{\infty} \frac{(-1)^{n+k-1}}{(n+k)^4}\right\}\\
\end{alignat}\((α)\) 左 \(2\) つのシグマについては、それぞれ
\begin{alignat}{2}
\displaystyle\sum_{k=1}^{\infty} \frac{(-1)^{k-1}}{k^3}&=1-\frac{1}{2^3}+\frac{1}{3^3}-\frac{1}{4^3}+ \cdots +\frac{(-1)^{n-1}}{n^3}+\frac{(-1)^n}{(n+1)^3}+\frac{(-1)^{n+1}}{(n+2)^3}+\frac{(-1)^{n+3}}{(n+3)^3}+ \cdots \\
&=1-\frac{1}{2^3}+\frac{1}{3^3}-\frac{1}{4^3}+ \cdots +\frac{(-1)^{n-1}}{n^3}+\left\{\frac{(-1)^n}{(n+1)^3}-\frac{(-1)^{n}}{(n+2)^3}+\frac{(-1)^n}{(n+3)^3}- \cdots\right\}\\
\displaystyle\sum_{k=1}^{\infty} \frac{(-1)^{n+k-1}}{(n+k)^3}&=\frac{(-1)^n}{(n+1)^3}-\frac{(-1)^n}{(n+2)^3}+\frac{(-1)^n}{(n+3)^3}-\frac{(-1)^n}{(n+4)^3}+ \cdots \\
\end{alignat}であるので、差を取ると$$\displaystyle\sum_{k=1}^{\infty} \frac{(-1)^{k-1}}{k^3} -\displaystyle\sum_{k=1}^{\infty} \frac{(-1)^{n+k-1}}{(n+k)^3}=1-\frac{1}{2^3}+\frac{1}{3^3}-\frac{1}{4^3}+ \cdots +\frac{(-1)^{n-1}}{n^3}=\displaystyle\sum_{k=1}^n \frac{(-1)^{k-1}}{k^3}$$

\((β)\) 一番右のシグマについて
\begin{alignat}{2}
\displaystyle\sum_{k=1}^{\infty} \frac{(-1)^{n+k-1}}{(n+k)^4}&=(-1)^n \left\{\frac{1}{(n+1)^4}-\frac{1}{(n+2)^4}+\frac{1}{(n+3)^4}-\frac{1}{(n+4)^4}+ \cdots \right\}\\
&=\frac{(-1)^n}{(n+1)^4}-\frac{(-1)^n}{(n+2)^4}+\frac{(-1)^n}{(n+3)^4}-\frac{(-1)^n}{(n+4)^4}+ \cdots\\
\end{alignat}ここで \(η(4)\) の式に上記のシグマを代入して整理します。
\begin{alignat}{2}
\frac{7}{8} \cdot \frac{π^4}{90}=η(4)=\displaystyle\sum_{k=1}^{\infty} \frac{(-1)^{k-1}}{k^4}&=1-\frac{1}{2^4}+\frac{1}{3^4}-\frac{1}{4^4}+\frac{1}{5^4}- \cdots +\frac{(-1)^{n-1}}{n^4}+\frac{(-1)^n}{(n+1)^4}+\frac{(-1)^{n+1}}{(n+2)^4}+\frac{(-1)^{n+2}}{(n+3)^4}+ \cdots \\
&=1-\frac{1}{2^4}+\frac{1}{3^4}-\frac{1}{4^4}+\frac{1}{5^4}- \cdots +\frac{(-1)^{n-1}}{n^4}+\left\{\frac{(-1)^n}{(n+1)^4}-\frac{(-1)^{n}}{(n+2)^4}+\frac{(-1)^{n}}{(n+3)^4}+ \cdots\right\} \\
&=\displaystyle\sum_{k=1}^{n} \frac{(-1)^{k-1}}{k^4}+\displaystyle\sum_{k=1}^{\infty} \frac{(-1)^{n+k-1}}{(n+k)^4}
\end{alignat}よって$$\displaystyle\sum_{k=1}^{\infty} \frac{(-1)^{n+k-1}}{(n+k)^4}=\frac{7π^2}{720}-\displaystyle\sum_{k=1}^{n} \frac{(-1)^{k-1}}{k^4}$$
元の積分計算に戻り、これらを代入します。
\begin{alignat}{2}
\displaystyle\int_0^{\infty} \frac{x^3\{1-(-1)^n\}e^{-nx}}{\cosh^2 \frac{x}{2}}dx&=24 \left[\displaystyle\sum_{k=1}^n \frac{(-1)^{k-1}}{k^3}+n \left\{\frac{7π^2}{720}-\displaystyle\sum_{k=1}^{n} \frac{(-1)^{k-1}}{k^4}\right\}\right]\\
&=\frac{7}{30}nπ^4-24 \left\{\displaystyle\sum_{k=1}^n \frac{n(-1)^{k-1}}{k^4}-\displaystyle\sum_{k=1}^n \frac{(-1)^{k-1}}{k^3}\right\}\\
&=\frac{7}{30}nπ^4 -24 \displaystyle\sum_{k=1}^{n} \frac{(-1)^{k-1}(n-k)}{k^4}\\
&=\frac{7}{30}nπ^4+24 \displaystyle\sum_{k=1}^{n-1} \frac{(-1)^k(n-k)}{k^4}
\end{alignat}以上より$$\displaystyle\int_0^{\infty} \frac{x^3\{1-(-1)^n\}e^{-nx}}{\cosh^2 \frac{x}{2}}dx=\frac{7}{30}nπ^2+24 \displaystyle\sum_{k=1}^{n-1} \frac{(-1)^k(n-k)}{k^4}$$

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