x^3e^{-2nx}/sinhx[0,∞]などの定積分

\begin{alignat}{2}
&(1) \displaystyle\int_0^{\infty} \frac{x^{2n-1}e^{-ax}}{\cosh ax}dx=\frac{1-2^{1-2n}}{2n}\left(\frac{π}{a}\right)^{2n}B_{2n}  (n:\mathrm{odd}, a \gt 0)\\
&(2) \displaystyle\int_0^{\infty }\frac{x^2e^{-2nx}}{\sinh x}dx=4 \displaystyle\sum_{m=n}^{\infty} \frac{1}{(2m+1)^3}\\
&(3) \displaystyle\int_0^{\infty }\frac{x^3e^{-2nx}}{\sinh x}dx=\frac{π^4}{8}-12 \displaystyle\sum_{m=1}^n \frac{1}{(2m-1)^4}\\
\end{alignat}








<証明>

全て被積分関数の一部を級数で表してから積分を行います。

\begin{alignat}{2}
&(1) \displaystyle\int_0^{\infty} \frac{x^{2n-1}e^{-ax}}{\cosh ax}dx\\
&=\displaystyle\int_0^{\infty} x^{2n-1}e^{-ax} \cdot \frac{2}{e^{ax}+e^{-ax}}dx\\
&=2\displaystyle\int_0^{\infty} x^{2n-1}e^{-ax} \cdot \frac{e^{-ax}}{1+e^{-2ax}}dx\\
&=2\displaystyle\int_0^{\infty} x^{2n-1}e^{-2ax}(1-e^{-2ax}+e^{-4ax}- \cdots )dx\\
&=2\displaystyle\int_0^{\infty} x^{2n-1}e^{-2ax}\displaystyle\sum_{m=0}^{\infty} (-1)^m e^{-2amx}dx\\
&=2 \displaystyle\sum_{m=0}^{\infty} (-1)^m \displaystyle\int_0^{\infty} x^{2n-1}e^{-2a(m+1)x}dx\\
\end{alignat}この積分の結果は下記となります。(こちらのページで同じ計算をしています。)$$\displaystyle\int_0^{\infty} x^{2n-1}e^{-2a(m+1)x}dx=\frac{(2n-1)!}{\{2a(m+1)\}^{2n}}$$代入して計算を続けます。
\begin{alignat}{2}
&=2\displaystyle\sum_{m=0}^{\infty} \frac{(-1)^m(2n-1)!}{\{2a(m+1)\}^{2n}}=\frac{(2n-1)!}{2^{2n-1}a^{2n}}\displaystyle\sum_{m=0}^{\infty} \frac{(-1)^m}{(m+1)^{2n}}\\
&=\frac{(2n-1)!}{2^{2n-1}a^{2n}}η(2n)=\frac{(2n-1)!}{2^{2n-1}a^{2n}}(1-2^{1-2n})ζ(2n)\\
&=\frac{(2n-1)!}{2^{2n-1}a^{2n}}(1-2^{1-2n}) \cdot \frac{(-1)^{n+1}(2π)^{2n}B_{2n}}{2\cdot (2n)!}\\
&=\frac{(-1)^{n+1}(1-2^{1-2n})}{2n}\left(\frac{π}{a}\right)^{2n}B_{2n}\\
&=\frac{1-2^{1-2n}}{2n}\left(\frac{π}{a}\right)^{2n}B_{2n}  (n:\mathrm{odd})\\
\end{alignat}以上より$$\displaystyle\int_0^{\infty} \frac{x^{2n-1}e^{-ax}}{\cosh ax}dx=\frac{1-2^{1-2n}}{2n}\left(\frac{π}{a}\right)^{2n}B_{2n}$$







\((2)(3)\) 予め、次の定積分を計算しておきます。
\begin{alignat}{2}
&  \displaystyle\int_0^{\infty} x^k e^{-bx}dx  (k \in \mathrm{N},b \gt 0)\\
&=\left[-\frac{x^k e^{-bx}}{b}\right]_0^{\infty} +\displaystyle\int_0^{\infty}\frac{kx^{k-1}e^{-bx}}{b}dx\\
&=\frac{k}{b}\displaystyle\int_0^{\infty} x^{k-1} e^{-bx}dx\\
&=\frac{k}{b}\cdot \frac{k-1}{b}\displaystyle\int_0^{\infty} x^{k-2} e^{-bx}dx\\
&\\
&               \cdots \\
&\\
&=\frac{k}{b}\cdot \frac{k-1}{b} \cdots \frac{2}{b} \cdot \frac{1}{b} \displaystyle\int_0^{\infty} e^{-bx}dx\\
&=\frac{k!}{b^k}\left[-\frac{e^{-bx}}{b}\right]_0^{\infty}=\frac{k!}{b^{k+1}}\\
\end{alignat}よって$$\displaystyle\int_0^{\infty} x^k e^{-bx}dx=\frac{k!}{b^{k+1}}  (k \in \mathrm{N},b \gt 0)$$これを用いると
\begin{alignat}{2}
&(A) \displaystyle\int_0^{\infty} x^2e^{-(2n+2m+1)x}dx=\frac{2}{(2n+2m+1)^3}\\
&(B) \displaystyle\int_0^{\infty} x^3e^{-(2n+2m+1)x}dx=\frac{6}{(2n+2m+1)^4}\\
\end{alignat}\((A)\) は \((2)\) で、\((B)\) は \((3)\) で用います。


\begin{alignat}{2}
&(2) \displaystyle\int_0^{\infty} \frac{x^2 e^{-2nx}}{\sinh x}dx=\displaystyle\int_0^{\infty} x^2e^{-2nx} \cdot \frac{2}{e^x-e^{-x}}dx=2\displaystyle\int_0^{\infty} x^2e^{-2nx} \cdot \frac{e^{-x}}{1-e^{-2x}}dx\\
&                 =2\displaystyle\int_0^{\infty} x^2 e^{-(2n+1)x}(1+e^{-2x}+e^{-4x}+ \cdots )dx\\
&                 =2\displaystyle\int_0^{\infty} x^2e^{-(2n+1)x}\displaystyle\sum_{m=0}^{\infty} e^{-2mx}dx\\
&                 =2 \displaystyle\sum_{m=0}^{\infty} \displaystyle\int_0^{\infty} x^2e^{-(2n+2m+1)x}dx\\
&                 =\displaystyle\sum_{m=0}^{\infty} \frac{4}{(2n+2m+1)^3}=4 \displaystyle\sum_{m=n}^{\infty} \frac{1}{(2m+1)^3}
\end{alignat}以上より$$\displaystyle\int_0^{\infty }\frac{x^2e^{-2nx}}{\sinh x}dx=4 \displaystyle\sum_{m=n}^{\infty} \frac{1}{(2m+1)^3}$$







\begin{alignat}{2}
&(3) \displaystyle\int_0^{\infty} \frac{x^3 e^{-2nx}}{\sinh x}dx=\displaystyle\int_0^{\infty} x^3e^{-2nx} \cdot \frac{2}{e^x-e^{-x}}dx=2\displaystyle\int_0^{\infty} x^3e^{-2nx} \cdot \frac{e^{-x}}{1-e^{-2x}}dx\\
&                 =2\displaystyle\int_0^{\infty} x^3 e^{-(2n+1)x}(1+e^{-2x}+e^{-4x}+ \cdots )dx\\
&                 =2\displaystyle\int_0^{\infty} x^3e^{-(2n+1)x}\displaystyle\sum_{m=0}^{\infty} e^{-2mx}dx\\
&                 =2 \displaystyle\sum_{m=0}^{\infty} \displaystyle\int_0^{\infty} x^3e^{-(2n+2m+1)x}dx\\
&                 =\displaystyle\sum_{m=0}^{\infty} \frac{12}{(2n+2m+1)^4}\\
&                 =12\left\{\frac{1}{(2n+1)^4}+\frac{1}{(2n+3)^4}+\frac{1}{(2n+5)^4}+ \cdots \right\}\\
&                 =12 \left\{\displaystyle\sum_{n=0}^{\infty} \frac{1}{(2n+1)^4}-\displaystyle\sum_{m=1}^n \frac{1}{(2m-1)^4}\right\}\\
&                 =12 \left\{\frac{π^4}{96}-\displaystyle\sum_{m=1}^n \frac{1}{(2m-1)^4}\right\}\\
&                 =\frac{π^4}{8}-12 \displaystyle\sum_{m=1}^n \frac{1}{(2m-1)^4}
\end{alignat}以上より$$\displaystyle\int_0^{\infty }\frac{x^3e^{-2nx}}{\sinh x}dx=\frac{π^4}{8}-12 \displaystyle\sum_{m=1}^n \frac{1}{(2m-1)^4}$$

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