x^3e^{-p^2x^2sinax}[0,∞]などの定積分

\begin{alignat}{2}
&(1) \displaystyle\int_0^{\infty} x^2e^{-p^2x^2} \cos axdx=\frac{(2p^2-a^2)\sqrt{π}}{8p^5}e^{-\frac{a^2}{4p^2}}\\
&(2) \displaystyle\int_0^{\infty} x^3e^{-p^2x^2} \sin axdx=\frac{(6ap^2-a^3)\sqrt{π}}{16p^7}e^{-\frac{a^2}{4p^2}}\\
\end{alignat}ただし、全て \(p \gt 0\)







<証明>

予め、次の定積分を計算しておきます。
\begin{alignat}{2}
&(A) \displaystyle\int_0^{\infty} e^{-p^2x^2} \cos axdx=\frac{\sqrt{π}}{2p}e^{-\frac{a^2}{4p^2}}\\
&(B) \displaystyle\int_0^{\infty} xe^{-p^2x^2} \sin axdx=\frac{a\sqrt{π}}{4p^3}e^{-\frac{a^2}{4p^2}}\\
\end{alignat}


\((A)\) 被積分関数は偶関数なので積分区間を\([-∞,∞]\) にします。$$\displaystyle\int_0^{\infty} e^{-p^2x^2} \cos axdx=\frac{1}{2}\displaystyle\int_{-\infty}^{\infty} e^{-p^2x^2} \cos axdx$$上記の積分に、次の定積分を \(i\) 倍してから加えます。(被積分関数は奇関数なので積分値は \(0\) です。)$$\frac{1}{2}\displaystyle\int_{-\infty}^{\infty} e^{-p^2x^2} \sin axdx=0$$すなわち
\begin{alignat}{2}
&  \frac{1}{2}\displaystyle\int_{-\infty}^{\infty} e^{-p^2x^2} \cos axdx+i \cdot \frac{1}{2}\displaystyle\int_{-\infty}^{\infty} e^{-p^2x^2} \sin axdx\\
&=\frac{1}{2}\displaystyle\int_{-\infty}^{\infty} e^{-p^2x^2} (\cos ax+i \sin ax)dx=\frac{1}{2}\displaystyle\int_{-\infty}^{\infty} e^{-p^2x^2} e^{iax}dx=\frac{1}{2}\displaystyle\int_{-\infty}^{\infty} e^{-p^2x^2+iax}dx\\
\end{alignat}指数部分を計算します$$-p^2x^2+iax=-p^2\left(x^2-\frac{ia}{p^2}x\right)=-p^2\left(x^2-\frac{ia}{p^2}x-\frac{a^2}{4p^4}\right)-\frac{a^2}{4p^2}=-p^2\left(x-\frac{ia}{2p^2}\right)-\frac{a^2}{4p^2}$$よって$$=\frac{1}{2}\displaystyle\int_{-\infty}^{\infty} e^{-p^2\left(x-\frac{ia}{2p^2}\right)-\frac{a^2}{4p^2}}dx=\frac{1}{2}e^{-\frac{a^2}{4p^2}}\displaystyle\int_{-\infty}^{\infty} e^{-p^2\left(x-\frac{ia}{2p^2}\right)}dx$$\(\displaystyle x-\frac{ia}{2p^2}=t\) と置きます。\((dx=dt)\)$$=\frac{1}{2}e^{-\frac{a^2}{4p^2}}\displaystyle\int_{-\infty}^{\infty} e^{-p^2t^2}dx=\frac{1}{2}e^{-\frac{a^2}{4p^2}} \cdot \frac{\sqrt{π}}{p}=\frac{\sqrt{π}}{2p}e^{-\frac{a^2}{4p^2}}$$以上より$$\displaystyle\int_0^{\infty} e^{-p^2x^2} \cos axdx=\frac{\sqrt{π}}{2p}e^{-\frac{a^2}{4p^2}}$$




\((B)\) 部分積分を行います。
\begin{alignat}{2}
&\displaystyle\int_0^{\infty} xe^{-p^2x^2} \sin axdx=-\frac{1}{2p^2}\displaystyle\int_0^{\infty} (e^{-p^2x^2})’\sin axdx\\
&                 =-\frac{1}{2p^2}\left\{\left[e^{-p^2x^2} \sin ax\right]_0^{\infty} -\displaystyle\int_0^{\infty} e^{-p^2x^2} \cdot a \cos axdx\right\}\\
&                 =\frac{a}{2p^2}\displaystyle\int_0^{\infty} e^{-p^2x^2} \cos axdx\\
&                 =\frac{a}{2p^2} \cdot \frac{\sqrt{π}}{2p}e^{-\frac{a^2}{4p^2}}=\frac{a\sqrt{π}}{4p^3}e^{-\frac{a^2}{4p^2}}
\end{alignat}





\((1)\) 部分積分を行ってから \((A)(B)\) を代入します。
\begin{alignat}{2}
&  \displaystyle\int_0^{\infty} x^2e^{-p^2x^2} \cos axdx\\
&=-\frac{1}{2p^2}\displaystyle\int_0^{\infty} x(e^{-p^2x^2})’ \cos axdx\\
&=-\frac{1}{2p^2}\left\{[xe^{-p^2x^2} \cos ax]_0^{\infty} -\displaystyle\int_0^{\infty} e^{-p^2x^2}(\cos ax -ax \sin ax)dx\right\}\\
&=\frac{1}{2p^2}\displaystyle\int_0^{\infty} e^{-p^2x^2}(\cos ax -ax \sin ax)dx\\
&=\frac{1}{2p^2}\left(\displaystyle\int_0^{\infty} e^{-p^2x^2} \cos axdx-a\displaystyle\int_0^{\infty} xe^{-p^2x^2} \sin axdx\right)\\
&=\frac{1}{2p^2}\left(\frac{\sqrt{π}}{2p}e^{-\frac{a^2}{4p^2}}-a \cdot \frac{a\sqrt{π}}{4p^3}e^{-\frac{a^2}{4p^2}}\right)\\
&=\frac{\sqrt{π}}{2p^2}\left(\frac{1}{2p}-\frac{a^2}{4p^3}\right)e^{-\frac{a^2}{4p^2}}\\
&=\frac{\sqrt{π}}{2p^2}\cdot \frac{2p^2-a^2}{4p^3}e^{-\frac{a^2}{4p^2}}=\frac{(2p^2-a^2)\sqrt{π}}{8p^5}e^{-\frac{a^2}{4p^2}}\\
\end{alignat}以上より$$\displaystyle\int_0^{\infty} x^2e^{-p^2x^2} \cos axdx=\frac{(2p^2-a^2)\sqrt{π}}{8p^5}e^{-\frac{a^2}{4p^2}}$$







\((2)\) 部分積分を行ってから \((B)(1)\) を代入します。
\begin{alignat}{2}
&  \displaystyle\int_0^{\infty} x^3e^{-p^2x^2} \sin axdx\\
&=-\frac{1}{2p^2}\displaystyle\int_0^{\infty} x^2(e^{-p^2x^2})’ \sin axdx\\
&=-\frac{1}{2p^2}\left\{[x^2e^{-p^2x^2} \sin ax]_0^{\infty} -\displaystyle\int_0^{\infty} e^{-p^2x^2}(2x\sin ax +ax^2 \cos ax)dx\right\}\\
&=\frac{1}{2p^2}\displaystyle\int_0^{\infty} e^{-p^2x^2}(2x \sin ax +ax^2 \cos ax)dx\\
&=\frac{1}{2p^2}\left(2\displaystyle\int_0^{\infty} xe^{-p^2x^2} \sin axdx+a\displaystyle\int_0^{\infty} x^2e^{-p^2x^2} \cos axdx\right)\\
&=\frac{1}{2p^2}\left(2 \cdot \frac{a\sqrt{π}}{4p^3}e^{-\frac{a^2}{4p^2}}+a \cdot \frac{(2p^2-a^2)\sqrt{π}}{8p^5}e^{-\frac{a^2}{4p^2}}\right)\\
&=\frac{\sqrt{π}}{2p^2}\left(\frac{a}{2p^3}+\frac{a(2p^2-a^2)}{8p^5}\right)e^{-\frac{a^2}{4p^2}}\\
&=\frac{\sqrt{π}}{2p^2}\cdot \frac{4ap^2+2ap^2-a^3}{8p^5}e^{-\frac{a^2}{4p^2}}=\frac{(6ap^2-a^3)\sqrt{π}}{16p^7}e^{-\frac{a^2}{4p^2}}\\
\end{alignat}以上より$$\displaystyle\int_0^{\infty} x^3e^{-p^2x^2} \sin axdx=\frac{(6ap^2-a^3)\sqrt{π}}{16p^7}e^{-\frac{a^2}{4p^2}}$$

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