x^3e^{μx}[0,a]などの定積分

\begin{alignat}{2}
&(1)  \displaystyle\int_0^a xe^{-μx}dx=\frac{1}{μ^2}-\frac{1}{μ^2}e^{-aμ}(1+aμ)\\
&(2)  \displaystyle\int_0^a x^2e^{-μx}dx=\frac{2}{μ^3}-\frac{1}{μ^3}e^{-aμ}(2+2aμ+a^2μ^2)\\
&(3)  \displaystyle\int_0^a x^3e^{-μx}dx=\frac{6}{μ^4}-\frac{1}{μ^4}e^{-aμ}(6+6aμ+3a^2μ^2+a^3μ^3)\\
\end{alignat}ただし、全て \(a \gt 0\)








<証明>

全て部分積分を行います。 また前問の結果を代入していきます。

\begin{alignat}{2}
&(1) \displaystyle\int_0^a xe^{-μx}dx=\left[-\frac{e^{-μx}}{μ} \cdot x\right]_0^a+\displaystyle\int_0^a \frac{e^{-μx}}{μ}dx\\
&              =-\frac{ae^{-aμ}}{μ}-\frac{1}{μ^2}[e^{-μx}]_0^a=-\frac{ae^{-aμ}}{μ}-\frac{1}{μ^2}(e^{-aμ}-1)\\
&              =\frac{1}{μ^2}-\frac{e^{-aμ}}{μ^2}-\frac{ae^{-aμ}}{μ}=\frac{1}{μ^2}-\frac{1}{μ^2}e^{-aμ}(1+aμ)\\
\end{alignat}以上より$$\displaystyle\int_0^a xe^{-μx}dx=\frac{1}{μ^2}-\frac{1}{μ^2}e^{-aμ}(1+aμ)$$







\begin{alignat}{2}
&(2) \displaystyle\int_0^a x^2e^{-μx}dx=\left[-\frac{e^{-μx}}{μ} \cdot x^2\right]_0^a+\displaystyle\int_0^a 2x \cdot \frac{e^{-μx}}{μ}dx\\
&               =-\frac{a^2e^{-aμ}}{μ}+\frac{2}{μ}\displaystyle\int_0^a xe^{-μx}dx\\
&               =-\frac{a^2e^{-aμ}}{μ}+\frac{2}{μ}\left\{\frac{1}{μ^2}-\frac{1}{μ^2}e^{-aμ}(1+aμ)\right\}\\
&               =\frac{2}{μ^3}-\frac{2}{μ^3}e^{-aμ}(1+aμ)-\frac{a^2e^{-aμ}}{μ}\\
&               =\frac{2}{μ^3}-\frac{1}{μ^3}e^{-aμ}(2+2aμ+a^2μ^2)\\
\end{alignat}以上より$$\displaystyle\int_0^a x^2e^{-μx}dx=\frac{2}{μ^3}-\frac{1}{μ^3}e^{-aμ}(2+2aμ+a^2μ^2)$$








\begin{alignat}{2}
&(3)  \displaystyle\int_0^a x^3e^{-μx}dx=\left[-\frac{e^{-μx}}{μ} \cdot x^3\right]_0^a+\displaystyle\int_0^a 3x^2 \cdot \frac{e^{-μx}}{μ}dx\\
&                =-\frac{a^3e^{-aμ}}{μ}+\frac{3}{μ}\displaystyle\int_0^a x^2 e^{-μx}dx\\
&                =-\frac{a^3e^{-aμ}}{μ}+\frac{3}{μ}\left\{\frac{2}{μ^3}-\frac{1}{μ^3}e^{-aμ}(2+2aμ+a^2μ^2)\right\}\\
&                =\frac{6}{μ^4}-\frac{3}{μ^4}e^{-aμ}(2+2aμ+a^2μ^2)-\frac{a^3e^{-aμ}}{μ}\\
&                =\frac{6}{μ^4}-\frac{1}{μ^4}e^{-aμ}(6+6aμ+3a^2μ^2+a^3μ^3)\\
\end{alignat}以上より$$\displaystyle\int_0^a x^3e^{-μx}dx=\frac{6}{μ^4}-\frac{1}{μ^4}e^{-aμ}(6+6aμ+3a^2μ^2+a^3μ^3)$$

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