x^{3}sinhx/(coshx+cost)^2[0,∞]などの定積分

\begin{alignat}{2}
&(1)  \displaystyle\int_0^{\infty} \frac{x \sinh ax}{(\cosh ax-\cos t)^2}dx=\frac{π-t}{a^2 \sin t}\\
&(2)  \displaystyle\int_0^{\infty} \frac{x^3 \sinh x}{(\cosh x+\cos t)^2}dx=\frac{t(π^2-t^2)}{3 \sin t}\\
\end{alignat}ただし、全て \(a \gt 0, 0 \lt t \lt π\)










<証明>

次の級数における等式を用います。[詳細はこちらです。(A)(B)]
\begin{alignat}{2}
&(A)  \displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}e^{-nt}\sin nx=\frac{1}{2}\cdot \frac{\sin x}{\cosh t -\cos x}  (t \gt 0)\\
&(B)  \displaystyle\sum_{k=1}^{\infty} \frac{\sin kx}{k}=\frac{π-x}{2}  (0 \lt x \lt 2π)\\
\end{alignat}

また、次の定積分の結果を用います。(詳細はこちらです)$$(C)  \displaystyle\int_0^{\infty} \frac{x^2}{\cosh x+\cos t}dx=\frac{t(π^2-t^2)}{3 \sin t}  (0 \lt t \lt π)$$






\((1)\) 部分積分を行います。
\begin{alignat}{2}
&  \displaystyle\int_0^{\infty} \frac{x \sinh ax}{(\cosh ax-\cos t)^2}dx\\
&=\left[-\frac{x}{a}\cdot \frac{1}{\cosh ax-\cos t}\right]_0^{\infty} +\frac{1}{a}\displaystyle\int_0^{\infty} \frac{1}{\cosh ax- \cos t}dx\\
&=\frac{1}{a}\displaystyle\int_0^{\infty} \frac{1}{\cosh ax- \cos t}dx\\
\end{alignat}求める定積分に合わせて \((A)\) の式の文字を置き換えます。$$\frac{1}{\cosh ax-\cos t}=\frac{2}{\sin t}\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty} e^{-nax} \sin nt$$となるので、積分計算を続けます。途中 \((B)\) の式を代入します。
\begin{alignat}{2}
&=\frac{1}{a}\displaystyle\int_0^{\infty} \left(\frac{2}{\sin t}\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty} e^{-nax} \sin nt\right)dx\\
&=\frac{2}{a \sin t}\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty} \sin nt \displaystyle\int_0^{\infty} e^{-nax}dx\\
&=\frac{2}{a \sin t}\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty} \sin nt \left[-\frac{e^{-nax}}{na}\right]_0^{\infty}\\
&=\frac{2}{a^2\sin t}\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}\frac{\sin nt}{n}=\frac{2}{a^2 \sin t} \cdot \frac{π-t}{2}=\frac{π-t}{a^2 \sin t}
\end{alignat}以上より$$\displaystyle\int_0^{\infty} \frac{x \sinh ax}{(\cosh ax-\cos t)^2}dx=\frac{π-t}{a^2 \sin t}$$









\((2)\) 部分積分を行い \((C)\) の式を代入します。
\begin{alignat}{2}
&  \displaystyle\int_0^{\infty} \frac{x^3 \sinh x}{(\cosh x+\cos t)^2}dx\\
&=\left[-\frac{x^3}{\cosh x+\cos t}\right]_0^{\infty} +\displaystyle\int_0^{\infty} \frac{3x^2}{\cosh x+\cos t}dx\\
&=3 \displaystyle\int_0^{\infty} \frac{x^2}{\cosh x+\cos t}dx=3 \cdot \frac{t(π^2-t^2)}{3 \sin t}=\frac{t(π^2-t^2)}{\sin t}\\
\end{alignat}以上より$$\displaystyle\int_0^{\infty} \frac{x^3 \sinh x}{(\cosh x+\cos t)^2}dx=\frac{t(π^2-t^2)}{3 \sin t}$$


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