x^5e^{-x}/(1-e^{-x})^2[0,t]などの定積分

\begin{alignat}{2}
&(1)  \displaystyle\int_0^{\infty} \frac{x^qe^{-px}}{(1-ae^{-px})^2}dx=\frac{Γ(q+1)}{ap^{q+1}}\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty} \frac{a^n}{n^q}\\
&(2)  \displaystyle\int_{-\infty}^{\infty} \frac{xe^x}{(a+e^x)^2}dx=\frac{\log a}{a}\\
&(3)  \displaystyle\int_0^t \frac{x^5e^{-x}}{(1-e^{-x})^2}dx\\
&=120ζ(5)-\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty} \frac{e^{-nt}}{n^5}\{(nt)^5+5(nt)^4+20(nt)^3+60(nt)^2+120nt+120\}\\
\end{alignat}ただし、全て \(p,q,a,t \gt 0,\,n \in \mathrm{N}\)








<証明>

\begin{alignat}{2}
(1)  \displaystyle\int_0^{\infty} \frac{x^qe^{-px}}{(1-ae^{-px})^2}dx&=\displaystyle\int_0^{\infty} x^qe^{-px}\left\{\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty} n(ae^{-px})^{n-1}\right\}dx\\
&=\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty} na^{n-1} \displaystyle\int_0^{\infty} x^q e^{-npx}dx\\
&=\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty} na^{n-1} \cdot \frac{Γ(q+1)}{(np)^{q+1}}=\frac{Γ(q+1)}{ap^{q+1}}\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty} \frac{a^n}{n^q}
\end{alignat}以上より$$\displaystyle\int_0^{\infty} \frac{x^qe^{-px}}{(1-ae^{-px})^2}dx=\frac{Γ(q+1)}{ap^{q+1}}\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty} \frac{a^n}{n^q}$$







\((2)\) \(e^x=t\) と置きます。\((tdx=dt)\)$$\displaystyle\int_{-\infty}^{\infty} \frac{xe^x}{(a+e^x)^2}dx=\displaystyle\int_0^{\infty} \frac{t \log t}{(a+t)^2} \cdot \frac{1}{t}dt=\displaystyle\int_0^{\infty} \frac{\log t}{(a+t)^2}dt$$\(t=as\) と置きます。\((dt=ads)\)
\begin{alignat}{2}
&=\displaystyle\int_0^{\infty} \frac{\log (as)}{(a+as)^2} \cdot ads=\frac{1}{a}\displaystyle\int_0^{\infty} \frac{\log a+\log s}{(1+s)^2}ds\\
&=\frac{1}{a}\left\{\displaystyle\int_0^{\infty} \frac{\log a}{(1+s)^2}ds+\displaystyle\int_0^{\infty} \frac{\log s}{(1+s)^2}ds\right\}\\
&=\frac{\log a}{a}\displaystyle\int_0^{\infty} \frac{1}{(1+s)^2}ds=\frac{\log a}{a}\left[-\frac{1}{1+s}\right]_0^{\infty}=\frac{\log a}{a}
\end{alignat}以上より$$\displaystyle\int_{-\infty}^{\infty} \frac{xe^x}{(a+e^x)^2}dx=\frac{\log a}{a}$$







$$(3)  \displaystyle\int_0^t \frac{x^5e^{-x}}{(1-e^{-x})^2}dx=\displaystyle\int_0^t x^5 e^{-x}\left\{\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty} ne^{(n-1)x}\right\}dx=\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty} n\displaystyle\int_0^t x^5e^{-nx}dx$$\(nx=s\) と置きます。\((ndx=ds)\)$$=\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty} n\displaystyle\int_0^{nt} \left(\frac{s}{n}\right)^5e^{-s} \cdot \frac{1}{n}ds=\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^5}\displaystyle\int_0^{nt} s^5e^{-s}ds$$積分の箇所を計算します。
\begin{alignat}{2}
\displaystyle\int_0^{nt} s^5e^{-s}ds&=[-s^5e^{-s}]_0^{nt}+\displaystyle\int_0^{nt} 5s^4e^{-s}ds\\
&=-(nt)^5e^{-nt}+5\displaystyle\int_0^{nt} s^4e^{-s}ds\\
\displaystyle\int_0^{nt} s^4e^{-s}ds&=[-s^4e^{-s}]_0^{nt}+\displaystyle\int_0^{nt} 4s^4e^{-s}ds\\
&=-(nt)^4e^{-nt}+4\displaystyle\int_0^{nt} s^3e^{-s}ds\\
\displaystyle\int_0^{nt} s^3e^{-s}ds&=[-s^3e^{-s}]_0^{nt}+\displaystyle\int_0^{nt} 3s^2e^{-s}ds\\
&=-(nt)^3e^{-nt}+3\displaystyle\int_0^{nt} s^2e^{-s}ds\\
\displaystyle\int_0^{nt} s^2e^{-s}ds&=[-s^2e^{-s}]_0^{nt}+\displaystyle\int_0^{nt} 2se^{-s}ds\\
&=-(nt)^2e^{-nt}+2\displaystyle\int_0^{nt} se^{-s}ds\\
\displaystyle\int_0^{nt} se^{-s}ds&=[-se^{-s}]_0^{nt}+\displaystyle\int_0^{nt} e^{-s}ds=-(nt)e^{-nt}-[e^{-s}]_0^{nt}=-(nt)e^{-nt}-e^{-nt}+1\\
\end{alignat}よって、元の積分計算は
\begin{alignat}{2}
&=-\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^5}\{(nt)^5e^{-nt}+5(nt)^4e^{-nt}+20(nt)^3e^{-nt}+60(nt)^2e^{-nt}+120(nt)e^{-nt}+120e^{-nt}-120\}\\
&=120ζ(5)-\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty} \frac{e^{-nt}}{n^5}\{(nt)^5+5(nt)^4+20(nt)^3+60(nt)^2+120nt+120\}
\end{alignat}以上より$$\displaystyle\int_0^t \frac{x^5e^{-x}}{(1-e^{-x})^2}dx=120ζ(5)-\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty} \frac{e^{-nt}}{n^5}\{(nt)^5+5(nt)^4+20(nt)^3+60(nt)^2+120nt+120\}$$

コメントを残す

メールアドレスが公開されることはありません。 * が付いている欄は必須項目です