x_1/x_2+x_2/x_3+x_3/x_1≦x_2/x_1+x_3/x_2+x_1/x_3などの不等式

\(x_1 \geq x_2 \geq x_3 \geq \cdots \geq x_{n-1} \geq x_n \gt 0\) とすると

次の不等式が成り立ちます。
\begin{alignat}{2}
&(1)  \frac{x_1}{x_2}+\frac{x_2}{x_3}+\frac{x_3}{x_1}\leq \frac{x_2}{x_1}+\frac{x_3}{x_2}+\frac{x_1}{x_3}\\
&(2)  \frac{x_1}{x_2}+\frac{x_2}{x_3}+\frac{x_3}{x_4}+\frac{x_4}{x_1} \leq \frac{x_2}{x_1}+\frac{x_3}{x_2}+\frac{x_4}{x_3}+\frac{x_1}{x_4}\\
&(3)  \frac{x_n}{x_1}+\displaystyle\sum_{k=1}^{n-1} \frac{x_k}{x_{k+1}} \leq \frac{x_1}{x_n}+\displaystyle\sum_{k=1}^{n-1} \frac{x_{k+1}}{x_k}
\end{alignat}











<証明>

\((1)\) \(x_1 \geq x_2 \geq x_3 \gt 0\) であるので、次の不等式が成り立ちます。$$(x_1-x_2)(x_1-x_3)(x_2-x_3) \geq 0$$展開整理、及び移項します。
\begin{alignat}{2}
&\{x_1^2-(x_2+x_3)x_1+x_2x_3\}(x_2-x_3) \geq 0\\
&\\
&x_1^2x_2-(x_2+x_3)x_1x_2+x_2^2x_3-x_1^2x_3-x_1^2x_3+(x_2+x_3)x_1x_3-x_2x_3^2 \geq 0\\
&\\
&x_1^2x_2-x_1x_2^2-x_1x_2x_3+x_2^2x_3-x_1^2x_3+x_1x_2x_3+x_1x_3^2-x_2x_3^2 \geq 0\\
&\\
&x_1x_2^2+x_1^2x_3+x_2x_3^2 \leq x_1^2x_2+x_2^2x_3+x_1x_3^2
\end{alignat}両辺を \(x_1x_2x_3\) で割ります。$$\frac{x_2}{x_3}+\frac{x_1}{x_2}+\frac{x_3}{x_1} \leq \frac{x_1}{x_3}+\frac{x_2}{x_1}+\frac{x_3}{x_2}$$以上より$$\frac{x_1}{x_2}+\frac{x_2}{x_3}+\frac{x_3}{x_1}\leq \frac{x_2}{x_1}+\frac{x_3}{x_2}+\frac{x_1}{x_3}$$







\((2)\) \(x_1 \geq x_3 \geq x_4 \gt 0\) より

\((1)\) の不等式を用いることで次式が成り立ちます。$$\frac{x_1}{x_3}+\frac{x_3}{x_4}+\frac{x_4}{x_1}\leq \frac{x_3}{x_1}+\frac{x_4}{x_3}+\frac{x_1}{x_4}$$移項します。$$\frac{x_3}{x_4}+\frac{x_4}{x_1}-\frac{x_3}{x_1}\leq \frac{x_4}{x_3}+\frac{x_1}{x_4}-\frac{x_1}{x_3}  \cdots (A)$$\((A)\) の式を \((1)\) の不等式に加えます。
\begin{alignat}{2}
\frac{x_1}{x_2}+\frac{x_2}{x_3}+\frac{x_3}{x_4}+\frac{x_4}{x_1} &\leq \frac{x_2}{x_1}+\frac{x_3}{x_2}+\frac{x_1}{x_3}+\left(\frac{x_4}{x_3}+\frac{x_1}{x_4}-\frac{x_1}{x_3}\right)\\
&=\frac{x_2}{x_1}+\frac{x_3}{x_2}+\frac{x_4}{x_3}+\frac{x_1}{x_4}\\
\end{alignat}以上より$$\frac{x_1}{x_2}+\frac{x_2}{x_3}+\frac{x_3}{x_4}+\frac{x_4}{x_1} \leq \frac{x_2}{x_1}+\frac{x_3}{x_2}+\frac{x_4}{x_3}+\frac{x_1}{x_4}$$







\((3)\) 数学的帰納法で証明します。

\(n=3\) のとき \((1)\) の不等式であるので、成り立ちます。

\(n=k\) のとき$$\frac{x_1}{x_2}+\frac{x_2}{x_3}+\frac{x_3}{x_4}+ \cdots +\frac{x_{k-1}}{x_k}+\frac{x_k}{x_1} \leq \frac{x_2}{x_1}+\frac{x_3}{x_2}+\frac{x_4}{x_3}+\cdots +\frac{x_k}{x_{k-1}}+\frac{x_1}{x_k}  \cdots (B)$$が成り立つと仮定します。

ところで \(x_1 \geq x_k \geq x_{k+1} \gt 0\) とすると$$\frac{x_1}{x_k}+\frac{x_k}{x_{k+1}}+\frac{x_{k+1}}{x_1} \leq \frac{x_k}{x_1}+\frac{x_{k+1}}{x_k}+\frac{x_1}{x_{k+1}}$$が成り立ちます。移項します。$$\frac{x_k}{x_{k+1}}+\frac{x_{k+1}}{x_1}-\frac{x_k}{x_1} \leq \frac{x_{k+1}}{x_k}+\frac{x_1}{x_{k+1}}-\frac{x_1}{x_k}  \cdots (C)$$\((C)\) の式を \((B)\) の不等式に加えます。
\begin{alignat}{2}
\frac{x_1}{x_2}+\frac{x_2}{x_3}+\frac{x_3}{x_4}+ \cdots +\frac{x_{k-1}}{x_k}+\frac{x_k}{x_{k+1}}+\frac{x_{k+1}}{x_1} &\leq \frac{x_2}{x_1}+\frac{x_3}{x_2}+\frac{x_4}{x_3}+\cdots +\frac{x_k}{x_{k-1}}+\frac{x_1}{x_k}+\left(\frac{x_{k+1}}{x_k}+\frac{x_1}{x_{k+1}}-\frac{x_1}{x_k}\right)\\
&=\frac{x_2}{x_1}+\frac{x_3}{x_2}+\frac{x_4}{x_3}+\cdots +\frac{x_k}{x_{k-1}}+\frac{x_{k+1}}{x_k}+\frac{x_1}{x_{k+1}}\\
\end{alignat}となって \(n=k+1\) のときも成り立つ。以上より、次の不等式が成り立ちます。$$\frac{x_n}{x_1}+\displaystyle\sum_{k=1}^{n-1} \frac{x_k}{x_{k+1}} \leq \frac{x_1}{x_n}+\displaystyle\sum_{k=1}^{n-1} \frac{x_{k+1}}{x_k}$$

コメントを残す

メールアドレスが公開されることはありません。 * が付いている欄は必須項目です