(x+b)^v(a-x)^{μ-1}[0,a]などの定積分

\begin{alignat}{2}
&(1)  \displaystyle\int_0^a (x+b)^v (a-x)^{μ-1}dx=\frac{a^μb^v}{μ}{}_2F_1\left(-v,1;1+μ;-\frac{a}{b}\right)  (a \gt 0)\\
&(2)  \displaystyle\int_a^{\infty} (x+b)^{-v}(x-a)^{μ-1}dx=(a+b)^{μ-v}B(μ,v-μ)  (0 \lt μ \lt v)\\
&(3)  \displaystyle\int_a^b (x-a)^{μ-1}(b-x)^{v-1}dx=(b-a)^{μ+v-1}B(μ,v)  (μ,v \gt 0,\,b \gt a)\\
\end{alignat}







<証明>

\((1)\) \(x=at\) と置きます。\(dx=adt\)
\begin{alignat}{2}
\displaystyle\int_0^a (x+b)^v (a-x)^{μ-1}dx&=\displaystyle\int_0^1 (at+b)^v (a-at)^{μ-1} \cdot adt\\
&=a^μ\displaystyle\int_0^1 (1-t)^μ (at+b)^vdt\\
&=a^μb^v \displaystyle\int_0^1 (1-t)^{μ-1} \left(1+\frac{a}{b}t\right)^vdt\\
\end{alignat}\(\displaystyle \left(1+\frac{a}{b}t\right)^v\) を級数で表します。
\begin{alignat}{2}
&=a^μb^v \displaystyle\int_0^1 (1-t)^{μ-1} \left\{\displaystyle\sum_{n=0}^{\infty} \frac{v(v-1)(v-2) \cdots (v-n+1)}{n!} \left(\frac{a}{b}t\right)^n\right\}dt\\
&=a^μb^v\displaystyle\sum_{n=0}^{\infty} \frac{v(v-1)(v-2) \cdots (v-n+1)}{n!} \left(\frac{a}{b}\right)^n \displaystyle\int_0^1 t^n (1-t)^{μ-1}dt\\
&=a^μb^v\displaystyle\sum_{n=0}^{\infty} \frac{v(v-1)(v-2) \cdots (v-n+1)}{n!} \left(\frac{a}{b}\right)^n B(n+1,μ)\\
&=a^μb^v\displaystyle\sum_{n=0}^{\infty} \frac{v(v-1)(v-2) \cdots (v-n+1)}{n!} \left(\frac{a}{b}\right)^n \cdot \frac{Γ(n+1)Γ(μ)}{Γ(n+1+μ)}\\
&=a^μb^v\displaystyle\sum_{n=0}^{\infty} \frac{v(v-1)(v-2) \cdots (v-n+1)}{(μ+n)(μ+n-1) \cdots (μ+1)μ} \cdot \frac{1}{n!} \left(\frac{a}{b}\right)^n \cdot Γ(n+1)\\
&=\frac{a^μb^v}{μ}\displaystyle\sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-v+n-1)(-v+n-2) \cdots (-v-1)(-v)\cdot n(n-1) \cdots 3 \cdot 2 \cdot 1 }{(μ+n)(μ+n-1) \cdots (μ+1)} \cdot \frac{1}{n!}\left(-\frac{a}{b}\right)^n\\
&=\frac{a^μb^v}{μ} \displaystyle\sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-v)_n \cdot (1)_n}{(1+μ)_n} \cdot \frac{1}{n!}\left(-\frac{a}{b}\right)^n=\frac{a^μb^v}{μ}{}_2F_1\left(-v,1;1+μ;-\frac{a}{b}\right)\\
\end{alignat}以上より$$\displaystyle\int_0^a (x+b)^v (a-x)^{μ-1}dx=\frac{a^μb^v}{μ}{}_2F_1\left(-v,1;1+μ;-\frac{a}{b}\right)  (a \gt 0)$$







\((2)\) \(x-a=t\) と置きます。\((dx=dt)\)$$\displaystyle\int_a^{\infty} (x+b)^{-v}(x-a)^{μ-1}dx=\displaystyle\int_0^{\infty} (t+a+b)^{-v} t^{μ-1}dt$$\(t=(a+b)r\) と置きます。\([dt=(a+b)dr]\)
\begin{alignat}{2}
&=\displaystyle\int_0^{\infty} \{(a+b)r+a+b\}^{-v} (a+b)^{μ-1}r^{μ-1} \cdot (a+b)ar\\
&=(a+b)^{μ-v}\displaystyle\int_0^{\infty} \frac{r^{μ-1}}{(1+r)^v}dr=(a+b)^{μ-v}B(μ,v-μ)
\end{alignat}以上より$$\displaystyle\int_a^{\infty} (x+b)^{-v}(x-a)^{μ-1}dx=(a+b)^{μ-v}B(μ,v-μ)  (0 \lt μ \lt v)$$







\((3)\) \(x-a=t\) と置きます。\((dx=dt)\)$$\displaystyle\int_a^b (x-a)^{μ-1}(b-x)^{v-1}dx=\displaystyle\int_0^{b-a} t^{μ-1}(b-a-t)^{v-1}dt$$\(t=(b-a)r\) と置きます。\([dt=(b-a)dr]\)
\begin{alignat}{2}
&=\displaystyle\int_0^1 (b-a)^{μ-1}r^{μ-1} \{b-a-(b-a)r\}^{v-1} \cdot (b-a)dr\\
&=(b-a)^{μ+v-1} \displaystyle\int_0^1 r^{μ-1}(1-t)^{v-1}dt=(b-a)^{μ+v-1}B(μ,v)\\
\end{alignat}以上より$$\displaystyle\int_a^b (x-a)^{μ-1}(b-x)^{v-1}dx=(b-a)^{μ+v-1}B(μ,v)  (μ,v \gt 0,\,b \gt a)$$

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