{x・chi(x)-sinhx}e^{-μx}[0,∞]などの定積分

\begin{alignat}{2}
&(1)  \displaystyle\int_0^{\infty} \{x \,\mathrm{chi}(x)-\sinh x\}e^{-μx}dx=-\frac{1}{2μ^2}\log (μ^2-1)\\
&(2)  \displaystyle\int_0^{\infty} \{x \,\mathrm{shi}(x)-\cosh x\}e^{-μx}dx=-\frac{1}{μ}+\frac{1}{2μ^2}\log \frac{μ+1}{μ-1}
\end{alignat}ただし、全て \(μ \gt 1\)













<証明>

次の定積分の結果を用います。(詳細はこちらです)
\begin{alignat}{2}
&(A)  \displaystyle\int_0^{\infty} \mathrm{shi}(x) e^{-μx}dx=\frac{1}{2μ}\log \frac{μ+1}{μ-1}\\
&(B)  \displaystyle\int_0^{\infty} \mathrm{chi}(x) e^{-μx}dx=-\frac{1}{2μ}\log (μ^2-1)\\
\end{alignat}ただし、全て \(μ \gt 1\)




\((1)\) 部分積分を行います。
\begin{alignat}{2}
&  \displaystyle\int_0^{\infty} \{x \,\mathrm{chi}(x)-\sinh x\}e^{-μx}dx\\
&=\left[-\frac{e^{-μx}}{μ}\{x \,\mathrm{chi}(x)-\sinh x\}\right]_0^{\infty} +\frac{1}{μ}\displaystyle\int_0^{\infty} e^{-μx}\left\{\mathrm{chi}(x)+x \cdot \frac{\cosh x}{x}- \cosh x\right\}dx\\
&=\left[-\frac{e^{-μx}}{μ}\{x \,\mathrm{chi}(x)-\sinh x\}\right]_0^{\infty} +\frac{1}{μ}\displaystyle\int_0^{\infty} e^{-μx}\left\{\mathrm{chi}(x)+\cosh x- \cosh x\right\}dx\\
&=\left[-\frac{e^{-μx}}{μ}\{x \,\mathrm{chi}(x)-\sinh x\}\right]_0^{\infty} +\frac{1}{μ}\displaystyle\int_0^{\infty} \mathrm{chi}(x) e^{-μx}dx\\
\end{alignat}左の極限の計算をします。

\((α)\) \(x \to 0\) のとき明らかに$$\displaystyle\lim_{x \to 0} e^{-μx}\{x \,\mathrm{chi}(x)-\sinh x\}=0$$
\((β)\) \(x \to \infty\) のとき$$\displaystyle\lim_{x \to \infty} e^{-μx}\{x \,\mathrm{chi}(x)-\sinh x\}=\displaystyle\lim_{x \to \infty} \frac{x \,\mathrm{chi}(x)-\sinh x}{e^{μx}} (μ \gt 1)$$を計算したいのですが

まずは \(f(x)=x \,\mathrm{chi}(x)-\sinh x\) とおいて \(f(x)\) の増減を調べます。\(f(x)\) を微分します。
\begin{alignat}{2}
f’(x)&=\mathrm{chi}(x)+x \cdot \frac{\cosh x}{x} -\cosh x\\
&=\mathrm{chi}(x)+\cosh x-\cosh x=\mathrm{chi}(x)\\
\end{alignat}\(\mathrm{chi}(x)=0\) となる点を \(x=α\) とすると \(x\geq α\) で \(f(x)\) は常に増加。よって$$\displaystyle\lim_{x \to \infty}f(x)=\displaystyle\lim_{x \to \infty}\{x \,\mathrm{chi}(x)-\sinh x\}=\infty$$
分子と分母がどちらも \(\infty\) に発散することが確認できたので、ロピタルの定理を用いて計算を行います。$$\displaystyle\lim_{x \to \infty} \frac{x \,\mathrm{chi}(x)-\sinh x}{e^{μx}}=\displaystyle\lim_{x \to \infty} \frac{\mathrm{chi}(x)}{μe^{μx}}=\displaystyle\lim_{x \to \infty} \frac{1}{μ} \cdot \frac{1}{μe^{μx}} \cdot \frac{\cosh x-1}{x}=0  (μ \gt 1)$$

元の積分計算に戻り \((B)\) の式を用います。
\begin{alignat}{2}
\displaystyle\int_0^{\infty} \{x \,\mathrm{chi}(x)-\sinh x\}e^{-μx}dx&=\frac{1}{μ}\displaystyle\int_0^{\infty} \mathrm{chi}(x) e^{-μx}dx\\
&=\frac{1}{μ} \cdot \left(-\frac{1}{2μ}\right)\log (μ^2-1)\\
&=-\frac{1}{2μ^2}\log (μ^2-1)\\
\end{alignat}以上より$$\displaystyle\int_0^{\infty} \{x \,\mathrm{chi}(x)-\sinh x\}e^{-μx}dx=-\frac{1}{2μ^2}\log (μ^2-1)$$








\((2)\) 部分積分を行います。
\begin{alignat}{2}
&  \displaystyle\int_0^{\infty} \{x \,\mathrm{shi}(x)-\cosh x\}e^{-μx}dx\\
&=\left[-\frac{e^{-μx}}{μ}\{x \,\mathrm{shi}(x)-\cosh x\}\right]_0^{\infty} +\frac{1}{μ}\displaystyle\int_0^{\infty} e^{-μx}\left\{\mathrm{shi}(x)+x \cdot \frac{\sinh x}{x}- \sinh x\right\}dx\\
&=\left[-\frac{e^{-μx}}{μ}\{x \,\mathrm{shi}(x)-\cosh x\}\right]_0^{\infty} +\frac{1}{μ}\displaystyle\int_0^{\infty} e^{-μx}\left\{\mathrm{shi}(x)+\sinh x- \sinh x\right\}dx\\
&=\left[-\frac{e^{-μx}}{μ}\{x \,\mathrm{shi}(x)-\cosh x\}\right]_0^{\infty} +\frac{1}{μ}\displaystyle\int_0^{\infty} \mathrm{shi}(x) e^{-μx}dx\\
\end{alignat}左の極限の計算をします。

\((α)\) \(x \to 0\) のとき明らかに$$\displaystyle\lim_{x \to 0} e^{-μx}\{x \,\mathrm{shi}(x)-\cosh x\}=-1$$
\((β)\) \(x \to \infty\) のとき$$\displaystyle\lim_{x \to \infty} e^{-μx}\{x \,\mathrm{shi}(x)-\cosh x\}=\displaystyle\lim_{x \to \infty} \frac{x \,\mathrm{cshi}(x)-\cosh x}{e^{μx}} (μ \gt 1)$$を計算したいのですが

まずは \(f(x)=x \,\mathrm{shi}(x)-\cosh x\) とおいて \(f(x)\) の増減を調べます。\(f(x)\) を微分します。
\begin{alignat}{2}
f’(x)&=\mathrm{shi}(x)+x \cdot \frac{\sinh x}{x} -\sinh x\\
&=\mathrm{shi}(x)+\sinh x-\sinh x=\mathrm{shi}(x)\\
\end{alignat}\(\mathrm{shi}(x)=0\) の解は \(x=0\) であるので \(x\geq 0\) で \(f(x)\) は常に増加。よって$$\displaystyle\lim_{x \to \infty}f(x)=\displaystyle\lim_{x \to \infty}\{x \,\mathrm{shi}(x)-\cosh x\}=\infty$$
分子と分母がどちらも \(\infty\) に発散することが確認できたので、ロピタルの定理を用いて計算を行います。$$\displaystyle\lim_{x \to \infty} \frac{x \,\mathrm{shi}(x)-\cosh x}{e^{μx}}=\displaystyle\lim_{x \to \infty} \frac{\mathrm{shi}(x)}{μe^{μx}}=\displaystyle\lim_{x \to \infty} \frac{1}{μ} \cdot \frac{1}{μe^{μx}} \cdot \frac{\sinh x}{x}=0  (μ \gt 1)$$

元の積分計算に戻り \((A)\) の式を用います。
\begin{alignat}{2}
\displaystyle\int_0^{\infty} \{x \,\mathrm{shi}(x)-\cosh x\}e^{-μx}dx&=\frac{1}{μ}\displaystyle\int_0^{\infty} \mathrm{shi}(x) e^{-μx}dx\\
&=-\frac{1}{μ}+\frac{1}{μ} \cdot \frac{1}{2μ}\log \frac{μ+1}{μ-1}\\
&=-\frac{1}{μ}+\frac{1}{2μ^2}\log \frac{μ+1}{μ-1}\\
\end{alignat}以上より$$\displaystyle\int_0^{\infty} \{x \,\mathrm{shi}(x)-\cosh x\}e^{-μx}dx=-\frac{1}{μ}+\frac{1}{2μ^2}\log \frac{μ+1}{μ-1}  (μ \gt 0)$$

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