xcosx/sinx[0,π/2]などの定積分

\begin{alignat}{2}
&(1) \displaystyle\int_0^{\frac{π}{2}} \frac{x \cos x}{ \sin x}dx=\frac{π}{2} \log 2\\
&(2) \displaystyle\int_0^{\frac{π}{2}} \frac{x^2}{ \sin^2 x}dx=π \log 2\\
&(3) \displaystyle\int_0^{\frac{π}{2}} \frac{x^3 \cos x}{ \sin^3 x}dx=-\frac{π^3}{16}+\frac{3}{2}π \log 2
\end{alignat}





<証明>

\((1)\) 部分積分です。
\begin{alignat}{2}
&\displaystyle\int_0^{\frac{π}{2}} \frac{x \cos x}{ \sin x}dx=\displaystyle\int_0^{\frac{π}{2}} x \cot xdx\\
&=\left[x \log ( \sin x)\right]_0^{\frac{π}{2}}-\displaystyle\int_0^{\frac{π}{2}} \log ( \sin x)dx=\frac{π}{2} \log 2
\end{alignat}





\((2)\) \(\displaystyle \frac{1}{ \sin^2 x}=\left(-\frac{1}{ \tan x}\right)’\) と見て部分積分です。
   途中 \((1)\) の値を代入しています。
\begin{alignat}{2}
&\displaystyle\int_0^{\frac{π}{2}} \frac{x^2}{ \sin^2 x}dx=\displaystyle\int_0^{\frac{π}{2}} x^2\left(-\frac{1}{ \tan x}\right)’dx\\
&           =\left[\frac{-x^2}{ \tan x}\right]_0^{\frac{π}{2}}+\displaystyle\int_0^{\frac{π}{2}} 2x \cdot \frac{1}{ \tan x}dx\\
&           =2\displaystyle\int_0^{\frac{π}{2}} x \cot xdx=2 \cdot \frac{π}{2} \log 2=π \log 2
\end{alignat}





\((3)\) \(\displaystyle \frac{\cos x}{ \sin^3 x}=\left(-\frac{1}{2 \sin^2 x}\right)’\) と見て部分積分です。
   途中 \((2)\) の値を代入しています。
\begin{alignat}{2}
&\displaystyle\int_0^{\frac{π}{2}} \frac{x \cos x}{\sin x}dx=\displaystyle\int_0^{\frac{π}{2}} x^3 \left(-\frac{1}{2 \sin^2 x}\right)’dx\\
&=\left[-\frac{x^3}{2 \sin^2 x}\right]_0^{\frac{π}{2}}+\displaystyle\int_0^{\frac{π}{2}} \frac{3x^2}{2 \sin^2 x}dx\\
&=-\frac{π^3}{16}+\frac{3}{2}\displaystyle\int_0^{\frac{π}{2}} \frac{x^2}{ \sin^2 x}dx=-\frac{π^3}{16}+\frac{3}{2}π \log 2
\end{alignat}

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