(xcot^{-1}x-tan^{-1}/x)1/(1-x^2)[0,1]などの定積分

\begin{alignat}{2}
&(1)  \displaystyle\int_0^1 \left(\frac{π}{4}-\tan^{-1} x\right)\frac{1}{1-x}dx=-\frac{π}{8}\log 2+G\\
&(2)  \displaystyle\int_0^1 \left(\frac{π}{4}-\tan^{-1} x\right) \frac{1+x}{(1-x)(1+x^2)}dx=\frac{π}{8}\log 2+\frac{1}{2}G\\
&(3)  \displaystyle\int_0^1 \left(x \cot^{-1} x-\frac{\tan^{-1} x}{x}\right)\frac{1}{1-x^2}dx=-\frac{π}{8}\log 2  
\end{alignat}











<証明>

次の定積分の結果を用います。(詳細はこちらです。)
\begin{alignat}{2}
&(A)  \displaystyle\int_0^1 \frac{\log (1-x)}{1+x^2}dx=\frac{π}{8}\log 2-G\\
&(B)  \displaystyle\int_0^1 \frac{\log (1+x^2)}{1+x^2}dx=\frac{π}{2}\log 2-G\\
&(C)  \displaystyle\int_0^1 \frac{\log (1-x^2)}{1+x^2}dx=\frac{π}{4}\log 2-G
\end{alignat}







\((1)\) 部分積分を行います。
\begin{alignat}{2}
\displaystyle\int_0^1 \left(\frac{π}{4}-\tan^{-1} x\right)\frac{1}{1-x}dx&=\left[-\left(\frac{π}{4}-\tan^{-1} x\right)\log (1-x)\right]_0^1 -\displaystyle\int_0^1 \frac{\log (1-x)}{1+x^2}dx\\
&=-\displaystyle\int_0^1 \frac{\log (1-x)}{1+x^2}dx=-\frac{π}{8}\log 2+G\\
\end{alignat}以上より$$\displaystyle\int_0^1 \left(\frac{π}{4}-\tan^{-1} x\right)\frac{1}{1-x}dx=-\frac{π}{8}\log 2+G$$









\((2)\) 予め、次の積分の計算をしておきます。

\(x=\tan t\) と置きます。\(\displaystyle \left(dx=\frac{1}{\cos^2 t}dt\right)\)
\begin{alignat}{2}
\displaystyle\int \frac{1+x}{(1-x)(1+x^2)}dx&=\displaystyle\int \frac{1+\tan t}{1-\tan t}\cdot \frac{1}{1+\tan^2 t} \cdot \frac{1}{\cos^2 t}dt\\
&= \displaystyle\int \frac{1+\tan t}{1-\tan t}dt=\displaystyle\int \frac{\cos t+\sin t}{\cos t -\sin t}dt\\
&=-\displaystyle\int \frac{\cos t+\sin t}{\sin t -\cos t}dt=-\log |\sin t- \cos t|\\
&=-\log |\tan t-1||\cos t|=-\log \frac{|x-1|}{\sqrt{x^2+1}}\\
\end{alignat}よって$$\displaystyle\int \frac{1+x}{(1-x)(1+x^2)}dx=-\log \frac{|x-1|}{\sqrt{x^2+1}}$$

部分積分を行います。
\begin{alignat}{2}
\displaystyle\int_0^1 \left(\frac{π}{4}-\tan^{-1} x\right) \frac{1+x}{(1-x)(1+x^2)}dx&=\left[-\left(\frac{π}{4}-\tan^{-1} x\right)\log \frac{|x-1|}{\sqrt{x^2+1}}\right]_0^1 -\displaystyle\int_0^1 \frac{1}{1+x^2}\log \frac{1-x}{\sqrt{x^2+1}}dx\\
&=-\displaystyle\int_0^1 \frac{\log (1-x)-\log \sqrt{1+x^2}}{1+x^2}dx\\
&=-\displaystyle\int_0^1 \frac{\log (1-x)}{1+x^2}dx+\frac{1}{2}\displaystyle\int_0^1 \frac{\log (1+x^2)}{1+x^2}dx\\
&=-\left(\frac{π}{8}\log 2-G\right)+\frac{1}{2}\left(\frac{π}{2}\log 2-G\right)\\
&=-\frac{π}{8}\log 2+G+\frac{π}{4}\log 2-\frac{1}{2}G=\frac{π}{8}\log 2+\frac{1}{2}G\\
\end{alignat}以上より$$\displaystyle\int_0^1 \left(\frac{π}{4}-\tan^{-1} x\right) \frac{1+x}{(1-x)(1+x^2)}dx=\frac{π}{8}\log 2+\frac{1}{2}G$$







\((3)\) 積分を切り離して、それぞれ部分積分します。$$\displaystyle\int_0^1 \left(x \cot^{-1} x-\frac{\tan^{-1} x}{x}\right)\frac{1}{1-x^2}dx=\displaystyle\int_0^1 \frac{x \cot^{-1} x}{1-x^2}dx-\displaystyle\int_0^1 \frac{\tan^{-1}x }{x(1-x^2)}dx$$
途中、次の積分を用います。
\begin{alignat}{2}
\displaystyle\int \frac{1}{x(1-x^2)}dx&=-\displaystyle\int \frac{1}{x(x^2-1)}dx-\displaystyle\int \frac{1}{(x-1)x(x+1)}dx\\
&=-\frac{1}{2}\displaystyle\int \left\{\frac{1}{(x-1)x}-\frac{1}{x(x+1)}\right\}dx\\
&=-\frac{1}{2}\displaystyle\int \left(\frac{1}{x-1}-\frac{1}{x}-\frac{1}{x}+\frac{1}{x+1}\right)dx\\
&=-\frac{1}{2}\displaystyle\int \left(\frac{1}{x-1}-\frac{2}{x}+\frac{1}{x+1}\right)dx\\
&=-\frac{1}{2}\{\log |x-1|-2 \log |x|+\ log |x+1|\}\\
&=-\frac{1}{2}\log \frac{|x-1||x+1|}{x^2}=-\frac{1}{2}\log \frac{|x^2-1|}{x^2}\\
\end{alignat}
\((B)\) で上記の積分の結果を用いています。
\begin{alignat}{2}
(A)  \displaystyle\int_0^1 \frac{x \cot^{-1} x}{1-x^2}dx&=\left[\cot^{-1} x\left\{-\frac{1}{2}\log (1-x^2)\right\}\right]_0^1-\frac{1}{2}\displaystyle\int_0^1 \frac{\log (1-x^2)}{1+x^2}dx\\
&=-\frac{π}{8}\displaystyle\lim_{x \to 1} \log (1-x^2)-\frac{1}{2}\displaystyle\int_0^1 \frac{\log (1-x^2)}{1+x^2}dx\\
&\\
(B)  \displaystyle\int_0^1 \frac{\tan^{-1} x}{x(1-x^2)}dx&=\left[\tan^{-1} x\left\{-\frac{1}{2}\log \frac{(1-x^2)}{x^2}\right\}\right]_0^1 +\frac{1}{2}\displaystyle\int_0^1 \frac{1}{1+x^2}\log \frac{(1-x^2)}{x^2}dx\\
&=-\frac{π}{8}\displaystyle\lim_{x \to 1} \log (1-x^2)+\frac{1}{2}\displaystyle\int_0^1 \frac{\log (1-x^2)}{1+x^2}dx-\displaystyle\int_0^1 \frac{\log x}{1+x^2}dx\\
\end{alignat}
となるので、元の積分の計算に戻ります。
\begin{alignat}{2}
\displaystyle\int_0^1 \left(x \cot^{-1} x-\frac{\tan^{-1} x}{x}\right)\frac{1}{1-x^2}dx&=-\frac{1}{2}\displaystyle\int_0^1 \frac{\log (1-x^2)}{1+x^2}dx-\left(\frac{1}{2}\displaystyle\int_0^1 \frac{\log (1-x^2)}{1+x^2}dx-\displaystyle\int_0^1 \frac{\log x}{1+x^2}dx\right)\\
&=-\displaystyle\int_0^1 \frac{\log (1-x^2)}{1+x^2}dx+\displaystyle\int_0^1 \frac{\log x}{1+x^2}dx\\
&=-\left(\frac{π}{8}\log 2-G\right)-G=-\frac{π}{8}\log 2\\
\end{alignat}以上より$$\displaystyle\int_0^1 \left(x \cot^{-1} x-\frac{\tan^{-1} x}{x}\right)\frac{1}{1-x^2}dx=-\frac{π}{8}\log 2$$

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