(x+c)x^{μ-1}/(x+a)(x+b)[0,∞]などの定積分

\begin{alignat}{2}
&(1)  \displaystyle\int_0^{\infty} \frac{x^{μ-1}}{x+a}dx=πa^{μ-1}\csc μπ\\
&(2)  \displaystyle\int_0^{\infty} \frac{x^{μ-1}}{x-a}dx=-πa^{μ-1}\cot μπ\\
&(3)  \displaystyle\int_0^{\infty} \frac{x^{μ-1}}{(x+a)(x+b)}dx=\frac{π}{b-a}(a^{μ-1}-b^{μ-1})\csc μπ\\
&(4)  \displaystyle\int_0^{\infty} \frac{x^{μ-1}}{(x+a)(b-x)}dx=\frac{π}{a+b}(a^{μ-1}\csc μπ+b^{μ-1}\cot μπ)\\
&(5)  \displaystyle\int_0^{\infty} \frac{x^{μ-1}}{(x-a)(x-b)}dx=\frac{π}{b-a}(a^{μ-1}-b^{μ-1})\cot μπ\\
&(6)  \displaystyle\int_0^{\infty} \frac{(x-c)x^{μ-1}}{(x+a)(x+b)}dx=\frac{π}{b-a}\{(c-a)a^{μ-1}+(b-c)b^{μ-1}\}\csc μπ\\
\end{alignat}ただし、全て \(a,b,c \gt 0,\, 0 \lt μ \lt 1\)












<証明>

\((1)(2)\) はどちらも \(x=at\) と置きます。\((dx=adt)\)

\begin{alignat}{2}
&(1)  \displaystyle\int_0^{\infty} \frac{x^{μ-1}}{x+a}dx =\displaystyle\int_0^{\infty} \frac{(at)^{μ-1}}{at+a} \cdot adt=a^{μ-1}\displaystyle\int_0^{\infty} \frac{t^{μ-1}}{t+1}dt=πa^{μ-1}\csc μπ\\
&\\
&(2)  \displaystyle\int_0^{\infty} \frac{x^{μ-1}}{x-a}dx =\displaystyle\int_0^{\infty} \frac{(at)^{μ-1}}{at-a} \cdot adt=-a^{μ-1}\displaystyle\int_0^{\infty} \frac{t^{μ-1}}{1-t}dt=-πa^{μ-1}\cot μπ\\
\end{alignat}





\begin{alignat}{2}
(3)   \displaystyle\int_0^{\infty} \frac{x^{μ-1}}{(x+a)(x+b)}dx&=\frac{1}{b-a}\left(\displaystyle\int_0^{\infty} \frac{x^{μ-1}}{x+a}dx-\displaystyle\int_0^{\infty} \frac{x^{μ-1}}{x+b}dx\right)\\
&=\frac{1}{b-a}(πa^{μ-1}\csc μπ-πb^{μ-1} \csc μπ)\\
&=\frac{π}{b-a}(a^{μ-1}-b^{μ-1})\csc μπ\\
&\\
(4)   \displaystyle\int_0^{\infty} \frac{x^{μ-1}}{(x+a)(b-x)}dx&=\frac{1}{a+b}\left(\displaystyle\int_0^{\infty} \frac{x^{μ-1}}{x+a}dx-\displaystyle\int_0^{\infty} \frac{x^{μ-1}}{x-b}dx\right)\\
&=\frac{1}{a+b}(πa^{μ-1}\csc μπ+πb^{μ-1} \cot μπ)\\
&=\frac{π}{a+b}(a^{μ-1}\csc μπ+b^{μ-1}\cot μπ)\\
&\\
(5)   \displaystyle\int_0^{\infty} \frac{x^{μ-1}}{(x-a)(x-b)}dx&=\frac{1}{a-b}\left(\displaystyle\int_0^{\infty} \frac{x^{μ-1}}{x-a}dx-\displaystyle\int_0^{\infty} \frac{x^{μ-1}}{x-b}dx\right)\\
&=\frac{1}{a-b}(-πa^{μ-1}\cot μπ+πb^{μ-1} \cot μπ)\\
&=\frac{π}{b-a}(a^{μ-1}-b^{μ-1})\cot μπ\\
\end{alignat}






\begin{alignat}{2}
&(6)  \displaystyle\int_0^{\infty} \frac{(x-c)x^{μ-1}}{(x+a)(x+b)}dx\\
&=\frac{1}{b-a}\left\{\displaystyle\int_0^{\infty} (x+c)x^{μ-1}\left(\frac{1}{x+a}-\frac{1}{x+b}\right)dx\right\}\\
&=\frac{1}{b-a}\left(\displaystyle\int_0^{\infty} \frac{x^{μ}}{x+a}dx+c\displaystyle\int_0^{\infty} \frac{x^{μ-1}}{x+a}dx-\displaystyle\int_0^{\infty} \frac{x^{μ}}{x+a}dx-c\displaystyle\int_0^{\infty} \frac{x^{μ-1}}{x+a}dx\right)\\
&=\frac{1}{b-a}\{πa^μ\csc (μ+1)π+πca^{μ-1}\csc μπ+πb^μ\csc (μ+1)π-πcb^{μ-1}\csc μπ\}\\
&=\frac{π}{b-a}(-a^μ\csc μπ+ca^{μ-1}\csc μπ-b^μ\csc μπ-cb^{μ-1}\csc μπ)\\
&=\frac{π}{b-a}(-a^μ+ca^{μ-1}-b^μ-cb^{μ-1})\csc μπ\\
&=\frac{π}{b-a}\{(c-a)a^{μ-1}+(b-c)b^{μ-1}\}\csc μπ
\end{alignat}以上より$$\displaystyle\int_0^{\infty} \frac{(x-c)x^{μ-1}}{(x+a)(x+b)}dx=\frac{π}{b-a}\{(c-a)a^{μ-1}+(b-c)b^{μ-1}\}\csc μπ$$

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