xe^{-μx}/(b^2+x^2)^2[0,∞]などの定積分

\begin{alignat}{2}
&(1)  \displaystyle\int_0^{\infty} \frac{e^{-μx}}{(b^2+x^2)^2}dx\\
&=\frac{1}{2b^3}[\mathrm{ci}(bμ)\sin bμ-\mathrm{si}(bμ)\cos bμ -bμ\{\mathrm{ci}(bμ)\cos bμ+\mathrm{si}(bμ)\sin bμ\}]\\
&(2)  \displaystyle\int_0^{\infty} \frac{xe^{-μx}}{(b^2+x^2)^2}dx\\
&=\frac{1}{2b^2}[1-bμ\{\mathrm{ci}(bμ)\sin bμ-\mathrm{si}(bμ)\cos bμ\}]
\end{alignat}ただし、全て \(μ,b \gt 0\)








<証明>

次の定積分の結果を用います。(詳細はこちらです)
\begin{alignat}{2}
&(A)  \displaystyle\int_0^{\infty} \frac{e^{-μx}}{b^2+x^2}dx=\frac{1}{b}\{\mathrm{ci}(bμ)\sin bμ-\mathrm{si}(bμ)\cos bμ\}\\
&(B)  \displaystyle\int_0^{\infty} \frac{xe^{-μx}}{b^2+x^2}dx=-\mathrm{ci}(bμ)\cos bμ-\mathrm{si}(bμ)\sin bμ\\
\end{alignat}ただし、全て \(μ,b \gt 0\)




\((1)\) 次の定積分を \(I(b)\) と置きます。$$I(b)=\displaystyle\int_0^{\infty} \frac{e^{-μx}}{b^2+x^2}dx$$\(I(b)\) を \(b\) で微分します。$$I’(b)=\displaystyle\int_0^{\infty} e^{-μx} (-1)(b^2+x^2)^{-2} \cdot 2b dx=-2b \displaystyle\int_0^{\infty} \frac{e^{-μx}}{(b^2+x^2)^2}dx$$となるので、求める定積分は次のように表されます。$$\displaystyle\int_0^{\infty} \frac{e^{-μx}}{(b^2+x^2)^2}dx=-\frac{1}{2b}I’(b)$$
\((A)\) より \(I(b)\) の式は$$I(b)=\frac{\mathrm{ci}(bμ)\sin bμ-\mathrm{si}(bμ)\cos bμ}{b}$$
また、式内に含まれる関数の微分はそれぞれ次のようになります。
\begin{alignat}{2}
&\frac{d}{db}\mathrm{ci}(bμ)=\frac{d}{db}\left(-\displaystyle\int_{bμ}^{\infty} \frac{\cos x}{x}dx\right)=μ \cdot \frac{\cos bμ}{bμ}=\frac{\cos bμ}{b}\\
&\frac{d}{db}\mathrm{si}(bμ)=\frac{d}{db}\left(-\displaystyle\int_{bμ}^{\infty} \frac{\sin x}{x}dx\right)=μ \cdot \frac{\sin bμ}{bμ}=\frac{\sin bμ}{b}\\
\end{alignat}これを用いて \(I(b)\) を \(b\) で微分します。
\begin{alignat}{2}
&I’(b)=\frac{1}{b^2}\left[\left\{\frac{\cos bμ}{b}\cdot \sin bμ+\mathrm{ci}(bμ) \cdot μ \cos bμ-\frac{\sin bμ}{b} \cdot \cos bμ+ \mathrm{si}(bμ)\cdot μ \sin bμ\right\}b-\{\mathrm{ci}(bμ)\sin bμ-\mathrm{si}(bμ)\cos bμ\}\right]\\
&    =\frac{1}{b^2}[-\{\mathrm{ci}(bμ)\sin bμ-\mathrm{si}(bμ)\cos bμ\}+bμ\{\mathrm{ci}(bμ)\cos bμ+\mathrm{si}(bμ)\sin bμ\}]\\
&\\
&-\frac{1}{2b}I’(b)=\frac{1}{2b^3}[\mathrm{ci}(bμ)\sin bμ-\mathrm{si}(bμ)\cos bμ -bμ\{\mathrm{ci}(bμ)\cos bμ+\mathrm{si}(bμ)\sin bμ\}]
\end{alignat}以上より$$\displaystyle\int_0^{\infty} \frac{e^{-μx}}{(b^2+x^2)^2}dx=\frac{1}{2b^3}[\mathrm{ci}(bμ)\sin bμ-\mathrm{si}(bμ)\cos bμ -bμ\{\mathrm{ci}(bμ)\cos bμ+\mathrm{si}(bμ)\sin bμ\}]$$







\((2)\) 次の定積分を \(I(b)\) と置きます。$$I(b)=\displaystyle\int_0^{\infty} \frac{xe^{-μx}}{b^2+x^2}dx$$\(I(b)\) を \(b\) で微分します。$$I’(b)=\displaystyle\int_0^{\infty} xe^{-μx} (-1)(b^2+x^2)^{-2} \cdot 2b dx=-2b \displaystyle\int_0^{\infty} \frac{xe^{-μx}}{(b^2+x^2)^2}dx$$となるので、求める定積分は次のように表されます。$$\displaystyle\int_0^{\infty} \frac{e^{-μx}}{(b^2+x^2)^2}dx=-\frac{1}{2b}I’(b)$$
\((B)\) より \(I(b)\) の式は次式です。$$I(b)=-\mathrm{ci}(bμ)\cos bμ-\mathrm{si}(bμ)\sin bμ$$\(I(b)\) を \(b\) で微分します。
\begin{alignat}{2}
&I’(b)=-\left\{\frac{\cos bμ}{b} \cdot \cos bμ- \mathrm{ci}(bμ) \cdot μ \sin bμ\right\}-\left\{\frac{\sin bμ}{b} \cdot \sin bμ+ \mathrm{si}(bμ) \cdot μ \cos bμ\right\}\\
&    =-\frac{1}{b}\{\cos^2 bμ+\sin^2 bμ-bμ\cdot \mathrm{ci}(bμ)\sin bμ+bμ \cdot \mathrm{si}(bμ)\cos bμ\}\\
&    =-\frac{1}{b}[1-bμ\{\mathrm{ci}(bμ)\sin bμ-\mathrm{si}(bμ)\cos bμ\}]\\
&\\
&-\frac{1}{2b}I’(b)=\frac{1}{2b^2}[1-bμ\{\mathrm{ci}(bμ)\sin bμ-\mathrm{si}(bμ)\cos bμ\}]
\end{alignat}以上より$$\displaystyle\int_0^{\infty} \frac{xe^{-μx}}{(b^2+x^2)^2}dx=\frac{1}{2b^2}[1-bμ\{\mathrm{ci}(bμ)\sin bμ-\mathrm{si}(bμ)\cos bμ\}]$$

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