xe^{-x}/(e^x-1)[0,∞]などの定積分

\begin{alignat}{2}
&(1)  \displaystyle\int_0^{\infty}\frac{x}{e^x-1}dx=\frac{π^2}{6}\\
&(2)  \displaystyle\int_0^{\infty} \frac{xe^{-x}}{e^x-1}dx=\frac{π^2}{6}-1\\
&(3)  \displaystyle\int_0^{\infty} \frac{xe^{-2x}}{e^{-x}+1}dx=1-\frac{π^2}{12}\\
&(4)  \displaystyle\int_0^{\infty} \frac{xe^{-3x}}{e^{-x}+1}dx=\frac{π^2}{12}-\frac{3}{4}\\
&(5)  \displaystyle\int_0^{\infty} \frac{x(1+e^{-x})}{e^x-1}dx=\frac{π^2}{3}-1\\
&(6)  \displaystyle\int_0^{\infty} \frac{x(1-e^{-x})e^{-x}}{1+e^{-3x}}dx=\frac{2}{27}π^2
\end{alignat}







<証明>

\begin{alignat}{2}
(1)  \displaystyle\int_0^{\infty}\frac{x}{e^x-1}dx&=\displaystyle\int_0^{\infty}\frac{xe^{-x}}{1-e^{-x}}dx=\displaystyle\int_0^{\infty} xe^{-x}\displaystyle\sum_{n=0}^{\infty} e^{-nx}dx\\
&=\displaystyle\sum_{n=0}^{\infty} \displaystyle\int_0^{\infty} xe^{-(n+1)x}dx=\displaystyle\sum_{n=0}^{\infty} \frac{1}{(n+1)^2}=\frac{π^2}{6}\\
\end{alignat}以上より$$\displaystyle\int_0^{\infty}\frac{x}{e^x-1}dx=\frac{π^2}{6}$$






\begin{alignat}{2}
(2)  \displaystyle\int_0^{\infty}\frac{xe^{-x}}{e^x+1}dx&=\displaystyle\int_0^{\infty}\frac{xe^{-2x}}{1-e^{-x}}dx=\displaystyle\int_0^{\infty} xe^{-2x}\displaystyle\sum_{n=0}^{\infty} e^{-nx}dx\\
&=\displaystyle\sum_{n=0}^{\infty} \displaystyle\int_0^{\infty} xe^{-(n+2)x}dx=\displaystyle\sum_{n=0}^{\infty} \frac{1}{(n+2)^2}=\frac{π^2}{6}-1\\
\end{alignat}以上より$$\displaystyle\int_0^{\infty}\frac{xe^{-x}}{e^x-1}dx=\frac{π^2}{6}-1$$






\begin{alignat}{2}
(3)  \displaystyle\int_0^{\infty}\frac{xe^{-2x}}{e^{-x}+1}dx&=\displaystyle\int_0^{\infty}\frac{xe^{-2x}}{1+e^{-x}}dx=\displaystyle\int_0^{\infty} xe^{-2x}\displaystyle\sum_{n=0}^{\infty} (-1)^ne^{-nx}dx\\
&=\displaystyle\sum_{n=0}^{\infty}(-1)^n \displaystyle\int_0^{\infty} xe^{-(n+2)x}dx=\displaystyle\sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^n}{(n+2)^2}\\
&=1-η(2)=1-\frac{π^2}{12}\\
\end{alignat}以上より$$\displaystyle\int_0^{\infty} \frac{xe^{-2x}}{e^{-x}+1}dx=1-\frac{π^2}{12}$$






\begin{alignat}{2}
(4)  \displaystyle\int_0^{\infty}\frac{xe^{-3x}}{e^{-x}+1}dx&=\displaystyle\int_0^{\infty}\frac{xe^{-3x}}{1+e^{-x}}dx=\displaystyle\int_0^{\infty} xe^{-3x}\displaystyle\sum_{n=0}^{\infty} (-1)^ne^{-nx}dx\\
&=\displaystyle\sum_{n=0}^{\infty}(-1)^n \displaystyle\int_0^{\infty} xe^{-(n+3)x}dx=\displaystyle\sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^n}{(n+3)^2}\\
&=-1+\frac{1}{4}-η(2)=\frac{π^2}{12}-\frac{3}{4}\\
\end{alignat}以上より$$\displaystyle\int_0^{\infty} \frac{xe^{-3x}}{e^{-x}+1}dx=1-\frac{π^2}{12}$$






\((5)\) 積分を切り離し \((1)(2)\) の結果を代入します。$$\displaystyle\int_0^{\infty} \frac{x(1+e^{-x})}{e^x-1}dx=\displaystyle\int_0^{\infty}\frac{x}{e^x-1}dx+\displaystyle\int_0^{\infty} \frac{xe^{-x}}{e^x-1}dx=\frac{π^2}{6}+\left(\frac{π^2}{6}-1\right)=\frac{π^2}{3}-1$$






\begin{alignat}{2}
(6)  \displaystyle\int_0^{\infty} \frac{x(1-e^{-x})e^{-x}}{1+e^{-3x}}dx&=\displaystyle\int_0^{\infty} x(1-e^{-x})e^{-x}\displaystyle\sum_{n=0}^{\infty}(-1)^n e^{-3nx}dx\\
&=\displaystyle\sum_{n=0}^{\infty}(-1)^n \displaystyle\int_0^{\infty}\{xe^{-(3n+1)x}-xe^{-(3n+2)x}\}dx\\
&=\displaystyle\sum_{n=0}^{\infty}\left\{\frac{(-1)^n}{(3n+1)^2}-\frac{(-1)^n}{(3n+2)^2}\right\}\\
&=\left(1-\frac{1}{2^2}\right)-\left(\frac{1}{4^2}-\frac{1}{5^2}\right)+\left(\frac{1}{7^2}-\frac{1}{8^2}\right)-\left(\frac{1}{10^2}-\frac{1}{11^2}\right)+ \cdots\\
&=\left(1-\frac{1}{2^2}+\frac{1}{3^2}-\frac{1}{4^2}+\frac{1}{5^2}-\frac{1}{6^2}+\frac{1}{7^2}- \cdots \right)-\left(\frac{1}{3^2}-\frac{1}{6^2}+\frac{1}{9^2}- \cdots\right)\\
&=η(2)-\frac{1}{9}η(2)=\frac{8}{9}\cdot \frac{π^2}{12}=\frac{2}{27}π^2\\
\end{alignat}以上より$$\displaystyle\int_0^{\infty} \frac{x(1-e^{-x})e^{-x}}{1+e^{-3x}}dx=\frac{2}{27}π^2$$

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