xe^{-x}(1-e^{-2x})^{n-(1/2)}[0,∞]などの定積分

\begin{alignat}{2}
&(1)  \displaystyle\int_0^{\infty} xe^{-x}(1-e^{-2x})^{n-\frac{1}{2}}dx=\frac{(2n-1)!!}{(2n)!!} \cdot \frac{π}{4} \{γ+2 \log 2+ψ(n+1)\}\\
&(2)  \displaystyle\int_{-\infty}^{\infty} \frac{x}{(a^2e^x+e^{-x})^μ}dx=-\frac{1}{2a^μ}B\left(\frac{μ}{2},\frac{μ}{2}\right)\log a  (a,μ \gt 0)\\
\end{alignat}










<証明>

\((1)\) 次の定積分を \(I(μ)\) と置きます。$$I(μ)=\displaystyle\int_0^{\infty} e^{-μx}(1-e^{-2x})^{n-\frac{1}{2}}dx$$\(I(μ)\) を \(μ\) で微分します。$$I’(μ)=-\displaystyle\int_0^{\infty} xe^{-μx}(1-e^{-2x})^{n-\frac{1}{2}}dx$$\(μ=1\) とします。$$I’(1)=-\displaystyle\int_0^{\infty} xe^{-x}(1-e^{-2x})^{n-\frac{1}{2}}dx$$となるので \(I’(1)\) を求めます。

\(e^{-2x}=t\) と置きます。\((-2e^{-x}dx=dt)\)
\begin{alignat}{2}
I(μ)&=\displaystyle\int_0^{\infty} e^{-μx}(1-e^{-2x})^{n-\frac{1}{2}}dx=\displaystyle\int_1^0 t^{\frac{μ}{2}}(1-t)^{n-\frac{1}{2}} \left(-\frac{1}{2t}\right)dt\\
&=\frac{1}{2}\displaystyle\int_0^1 t^{\frac{μ}{2}-1}(1-t)^{n-\frac{1}{2}}dt=\frac{1}{2}B\left(\frac{μ}{2},n+\frac{1}{2}\right)=\frac{1}{2}\cdot \frac{Γ\left(\frac{μ}{2}\right)Γ\left(n+\frac{1}{2}\right)}{Γ\left(\frac{μ}{2}+n+\frac{1}{2}\right)}\\
\end{alignat}\(I(μ)\) を \(μ\) で微分します。
\begin{alignat}{2}
I’(μ)&=\frac{1}{2}Γ\left(n+\frac{1}{2}\right) \cdot \frac{\frac{1}{2}Γ’\left(\frac{μ}{2}\right)Γ\left(\frac{μ}{2}+n+\frac{1}{2}\right)-\frac{1}{2}Γ\left(\frac{μ}{2}\right)Γ’\left(\frac{μ}{2}+n+\frac{1}{2}\right)}{\left\{Γ\left(\frac{μ}{2}+n+\frac{1}{2}\right)\right\}^2}\\
&=\frac{1}{4} \cdot \frac{Γ\left(\frac{μ}{2}\right)Γ\left(n+\frac{1}{2}\right)}{Γ\left(\frac{μ}{2}+n+\frac{1}{2}\right)}\left\{ψ\left(\frac{μ}{2}\right)-ψ\left(\frac{μ}{2}+n+\frac{1}{2}\right)\right\}\\
\end{alignat}\(μ=1\) とします。
\begin{alignat}{2}
I’(1)&=\frac{1}{4} \cdot \frac{Γ\left(\frac{1}{2}\right)Γ\left(n+\frac{1}{2}\right)}{Γ(n+1)}\left\{ψ\left(\frac{1}{2}\right)-ψ(n+1)\right\}\\
&=\frac{1}{4} \cdot \frac{\sqrt{π}}{n!} \cdot \frac{(2n-1)!!}{2^n}\sqrt{π} \{-γ-2 \log 2-ψ(n+1)\}\\
&=-\frac{(2n-1)!!}{(2n)!!} \cdot \frac{π}{4} \{γ+2 \log 2+ψ(n+1)\}
\end{alignat}以上より$$\displaystyle\int_0^{\infty} xe^{-x}(1-e^{-2x})^{n-\frac{1}{2}}dx=\frac{(2n-1)!!}{(2n)!!} \cdot \frac{π}{4} \{γ+2 \log 2+ψ(n+1)\}$$







\((2)\) 次の定積分を \(I(p)\) と置きます。$$I(p)=\displaystyle\int_{-\infty}^{\infty} \frac{e^{px}}{(a^2e^x+e^{-x})^μ}dx$$\(I(p)\) を \(p\) で微分します。$$I’(p)=\displaystyle\int_{-\infty}^{\infty} \frac{xe^{px}}{(a^2e^x+e^{-x})^μ}dx$$\(p=0\) とします。$$I’(0)=\displaystyle\int_{-\infty}^{\infty} \frac{x}{(a^2e^x+e^{-x})^μ}dx$$となるので \(I’(0)\) を求めます。


\(e^x=t\) と置きます。\((e^xdx=dt)\)$$I(p)=\displaystyle\int_{-\infty}^{\infty} \frac{e^{px}}{(a^2e^x+e^{-x})^μ}dx=\displaystyle\int_0^{\infty} \frac{t^p}{(a^2t+t^{-1})^μ} \cdot \frac{1}{t}dt=\displaystyle\int_0^{\infty} \frac{t^{μ+p-1}}{(a^2t^2+1)^μ}dt$$\(a^2t^2=s\) と置きます。\((2a^2tdt=ds)\)
\begin{alignat}{2}
&=\displaystyle\int_0^{\infty} \frac{\left(\frac{s}{a^2}\right)^{\frac{μ+p-1}{2}}}{(s+1)^μ} \cdot \frac{1}{2a s^{\frac{1}{2}}}ds=\frac{1}{2a^{μ+p}} \displaystyle\int_0^{\infty} \frac{s^{\frac{μ+p}{2}-1}}{(s+1)^μ}ds\\
&=\frac{1}{2a^{μ+p}}B\left(\frac{μ+p}{2},\frac{μ-p}{2}\right)=\frac{1}{2a^{μ+p}} \cdot \frac{Γ\left(\frac{μ+p}{2}\right)Γ\left(\frac{μ-p}{2}\right)}{Γ(μ)}=\frac{1}{2a^{μ}Γ(μ)} \cdot \frac{Γ\left(\frac{μ+p}{2}\right)Γ\left(\frac{μ-p}{2}\right)}{a^p}\\
\end{alignat}\(I(p)\) を \(p\) で微分します。$$I’(p)=\frac{1}{2a^μΓ(μ)} \cdot \frac{\left\{\frac{1}{2}Γ’\left(\frac{μ+p}{2}\right)Γ\left(\frac{μ-p}{2}\right)-\frac{1}{2}Γ\left(\frac{μ+p}{2}\right)Γ’\left(\frac{μ-p}{2}\right)\right\}a^p-Γ\left(\frac{μ+p}{2}\right)Γ\left(\frac{μ-p}{2}\right) (\log a)a^p}{a^{2p}}$$\(p=0\) とします。
\begin{alignat}{2}
I’(0)&=\frac{1}{2a^μΓ(μ)}\left\{\frac{1}{2}Γ’\left(\frac{μ}{2}\right)Γ\left(\frac{μ}{2}\right)-\frac{1}{2}Γ\left(\frac{μ}{2}\right)Γ’\left(\frac{μ}{2}\right)-Γ\left(\frac{μ}{2}\right)Γ\left(\frac{μ}{2}\right) (\log a)\right\}\\
&=-\frac{1}{2a^μ}\cdot \frac{Γ\left(\frac{μ}{2}\right)Γ\left(\frac{μ}{2}\right)}{Γ(μ)}(\log a)=-\frac{1}{2a^μ}B\left(\frac{μ}{2},\frac{μ}{2}\right)\log a
\end{alignat}以上より$$\displaystyle\int_{-\infty}^{\infty} \frac{x}{(a^2e^x+e^{-x})^μ}dx=-\frac{1}{2a^μ}B\left(\frac{μ}{2},\frac{μ}{2}\right)\log a  (a,μ \gt 0)$$

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